Quantités optimales et maximales des ventes
L’étude du coût marginal permet de définir un optimum technique de production. Mais ce qui intéresse en principe l’entreprise n’est pas de minimiser ses coûts. C’est plutôt de maximiser son bénéfice, ce qui n’est pas exactement la même chose…
Problématique
En effet, il existe une différence entre ces deux objectifs, comme nous allons le voir. Pour déterminer une quantité optimale de vente, et non plus de production, Il faut intégrer une fonction de recette marginale qui peut être affine, voire affine par morceaux pour prendre en compte des paliers de remises sur le prix unitaire de vente (mais ceci nécessite une programmation et on se cantonnera ici à une situation plus simple). L’égalisation du coût marginal et de la recette marginale permet de trouver un optimum économique, différent de l’optimum technique.
Pour beaucoup d’entreprises, la recherche d’un optimum peut sembler un peu scolaire. Pourtant, les possibilités informatiques rendent ce type d’opération très facile à mettre en œuvre. Et surtout, il est utile d’avoir ce type d’analyse à disposition pour éviter de se précipiter sur les tableurs dès qu’un client passe une commande alors qu’on tourne déjà à plein régime…
Enfin, si l’analyse marginale permet d'établir un optimum, l’analyse en unitaire (ou coût et prix MOYENS) peut quant à elle nous amener à déterminer une production maximale. Ceci complète la détermination du seuil de rentabilité qui, quant à elle, vise à estimer une production minimale.
Exemple
Soit la fonction de coût total qui illustre la page direct costing : \(f(x)\) \(=\) \(0,1(x - 2)^3\) \(+\) \(0,3x\) \(+\) \(0,8.\) Comme vous l’aviez deviné, \(x\) est une quantité. Une écriture différente de cette fonction polynomiale aura des airs moins barbares : \(f(x)\) \(=\) \(0,1x^3\) \(-\) \(0,6x^2\) \(+\) \(1,5x.\)
Soit \(CM\) la fonction de coût moyen (unitaire). Donc, \(CM(x)\) \(=\) \(0,1x^2\) \(–\) \(0,6x\) \(+\) \(1,5.\) Simple division par \(x.\)
Soit aussi la fonction de coût marginal \(Cm,\) dérivée du coût total. \(Cm(x)\) \(=\) \(0,3x^2\) \(-\) \(1,2x\) \(+\) \(1,5.\) Leurs représentations figurent respectivement en bleu et en rouge sur le graphe ci-dessous (réalisation sur Sine qua non).
Soit maintenant la fonction du prix unitaire \(RM(x) = 5 - 0,1x.\) Ci-dessous, sa représentation est en vert. Bien sûr, \(0,1x\) correspond à une remise qui dépend des quantités vendues. L’expression de cette fonction est probablement fausse pour les « petites » valeurs de \(x,\) lorsqu’il n’y a pas de raison d’accorder des ristournes ou des remises, mais ce n’est pas très grave. L’essentiel est que l’expression de la fonction soit exacte sur l’intervalle de production-vente qui nous intéresse (lorsque le coût moyen s’élève).
Le chiffre d’affaires total s’établit donc à \(5x - 0,1x^2,\) ce qui permet en le dérivant de trouver facilement l’expression de la recette marginale \(Rm(x) = -0,2x + 5.\) Sa droite représentative figure en rose.
L’optimum technique se situe là où \(CM(x) = Cm(x).\) Un rapide calcul confirmé par le croisement des courbes ci-dessus indique que la quantité permet cette égalité en \(x = 3.\) C’est le niveau auquel il faudrait produire. Oui mais voilà, il faut aussi vendre !
Si l’on n’accordait aucune ristourne et que le prix de vente se situait à 5, les choses seraient assez simples. La quantité à produire serait celle où le coût marginal s’établit à 5 (soit une quantité légèrement inférieure à 6).
Or, le prix diminue en fonction de la quantité. Est-ce vraiment plus compliqué ? Bof…
L’optimum économique se situe alors où la recette marginale s’établit au niveau du coût marginal.
Pour résumer, \(Rm(x) = Cm(x),\) donc \(-0,2x\) \(+\) \(5\) \(=\) \(0,3x^2\) \(-\) \(1,2x\) \(+\) \(1,5,\) ce qui, après moult triturations, nous amène aux alentours de \(x = 5,47.\)
Ceci ne signifie pas que l’on ne gagne rien en vendant davantage. Plus précisément, on est gagnant jusqu’à ce que le coût moyen soit égal au prix moyen. Ainsi : \(RM(x) = CM(x),\) soit \(5\) \(-\) \(0,1x\) \(=\) \(0,1x^2\) \(-\) \(0,6x\) \(+\) \(1,5\) ou, pour parler franchement, \(x = 8,92.\) Au-delà, on pénètre dans l’enfer des pertes…
À présent, notre graphe ne demande qu’à être enrichi de ces divers seuils critiques.
C’est d’ailleurs au niveau de l’optimum économique que l’aire de profit est la plus importante.
