La division euclidienne

Division euclidienne dans \(\mathbb{N}\) et dans \(\mathbb{Z}\)

La division euclidienne est une opération arithmétique de base, étudiée dès l’école élémentaire. Le niveau de cette page est cependant un peu plus élevé (terminale générale maths expertes).

 

Théorèmes et propriétés

  1. Soit \(a\) un entier naturel et \(b\) un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d’entiers naturels \(q\) et \(r\) tels que \(a = bq + r\) avec \(r < b.\)

  2. Soit \(a\) un entier relatif et \(b\) un entier relatif non nul. Il existe un unique couple d’entiers \(q\) et \(r\) tels que \(a = bq + r\) avec \(r < |b|.\)

 

Démonstration du 1

Comme \(b\) est positif, ses multiples positifs forment une suite croissante : \(\{b\,;\) \(2b\,;\) \(3b\,;\) … \(qb\,;\) … \(ab\,;\) \((a+1)b…\}\)

Si \(a\) est un multiple de \(b,\) alors il existe un unique entier naturel \(q\) tel que \(bq = a.\)

Sinon, il est compris entre deux multiples consécutifs de \(b.\) Ainsi, il existe un unique entier naturel \(q\) tel que \(qb < a < (q + 1)b.\) Soit \(r = a - bq.\)

Comme \(r\) est positif et unique, alors il existe un unique couple d’entiers naturels \((q,r)\) tel que \(a = bq + r\) (avec \(r < b).\)

Propriété 1 : si \(b\) divise \(a,\) le reste \(r\) de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est nul.

Propriété 2 : \(q\) est le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) si et seulement si \(qb \leqslant a < (q + 1)b.\)

 

Et avec des nombres ?

Pour que les calculatrices en usage au lycée puissent vous donner les résultats d’une division euclidienne (avec quotient et reste), il faut enregistrer un programme. Mais chacun sait résoudre une telle opération à la main (voir la page arithmétique) !

 

Exercices

Exercice 1

Quels sont le diviseur et le quotient (différent de 1) d’une division dont le dividende est 821 et le reste est 40 ?

Exercice 2

Soit \(n\) un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de \((n + 3)^2\) par \(n + 6\) ?

Exercice 3

Soit un entier naturel \(n.\) Lorsqu’on le divise par 8, le reste est égal à 4. Lorsqu’on le divise par 11, le quotient diminue de 2 et le reste est égal à 5. Déterminer \(n.\)

Exercice 4

Effectuer la division euclidienne de 541 par (-200).

Exercice 5

Déterminer le quotient et le reste d’une division euclidienne de \(2^{600} + 90\) par 8.

Note : voir aussi la page d'exercices sur la congruence.

 

Corrigés

Corrigé 1

Posons l'équation \(821 = bq + 40\) avec \(b > 40.\)

Donc \(bq = 781.\) Ensuite, il faut chercher toutes les possibilités. 781 n’est pas un nombre premier. Il est divisible par 11 (soit \(11 × 71\).

Il n’existe qu’un seul couple de solutions : le diviseur est égal à 71 et le quotient est égal à 11.

Corrigé 2

Il faut d’abord faire apparaître un produit dont l’un des facteurs est \(n + 6.\)

Développons l’identité remarquable.

\((n + 3)^2\) \(=\) \(n^2 + 6n + 9\) \(=\) \(n(n + 6) + 9\)

Par conséquent, si l’on divise \((n + 3)^2\) par \(n + 6\) on obtient un quotient égal à \(n\) et un reste égal à 9.

Prenons par exemple \(n = 2.\) Nous divisons \(5^2 = 25\) par 8. Nous obtenons bien un quotient égal à \(n = 2\) et un reste de 9, soit \(25 = 16 + 9\).

Corrigé 3

Soit \(q\) le quotient de la première opération.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 8q + 4}\\ {n = 11(q - 2) + 5} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 8q + 4}\\ {8q + 4 = 11q - 22 + 5} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 8q + 4}\\ {-3q = -21} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 7}\\ {n = 60} \end{array}} \right.\)

\(n = 60\) est l’unique solution.

Corrigé 4

\(541 = (-2) × (-200) + 141\)

Nous avons bien \(0 \leqslant 141 < |-200|\)

Soit \(q\) le quotient et \(r\) le reste. Ainsi \(q = -2\) et \(r = 141.\)

Corrigé 5

Soit \(q\) le quotient et \(r\) le reste.

\(8 = 2^2.\) Par conséquent, \(2^{600} + 90 = 8 \times 2^{597} + 8 × 11 + 2\)

Ou encore \(8(2^{597} + 11) + 2,\) et \(0 \leqslant 2 < 8.\)

Donc \(q = 2^{597} + 11\) et \(r = 2.\)

 

Pour aller plus loin

Voir la division d'un polynôme et l'exercice de codage.