Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La marge sur coûts variables

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MCV et exemple d'ajustement par fonction polynôme

Notion essentielle du direct costing, la marge sur coût variable (contribution pour les anglo-saxons et MCV pour les intimes) est définie de façon on ne peut plus simple : par une soustraction.  C’est le chiffre d’affaires (CA) moins les charges variables (CV).

Rappelons que les CV sont celles qui varient, de façon proportionnelle ou non, en fonction de l'activité (production, vente...) tandis que les charges fixes ne varient qu'en cas de modification structurelle (c'est par exemple la dotation de l'amortissement d'une nouvelle machine, acquise pour développer une nouvelle production).

La MCV doit couvrir les frais fixes et, si le seuil de rentabilité est dépassé, dégager un résultat.

Le contrôleur de gestion calcule la MCV sur un seul produit ou sur un ensemble, de façon prévisionnelle ou récurrente.

En pratique, il arrive souvent qu’une charge ne soit ni complètement fixe, ni tout à fait variable. On affecte alors certains coûts de façon conventionnelle ici ou là. Ceci pour dire que la MCV a des limites un peu floues…

De même, certains coûts variables sont PROPORTIONNELS aux quantités produites mais d’autres non…  Comment le savoir ? Soit il faut retenir des rapports déjà connus de coût en fonction de quantités, soit on utilise des méthodes statistiques.

Si l’on collecte sur une période une quantité d’observations suffisante (de ce nombre dépendra de la qualité de l’ajustement), il est habituel de procéder à une régression. Ainsi, un rapport proportionnel est validé par une régression linéaire simple. Cette hypothèse est celle qui est retenue pour l’exemple de la page seuil de rentabilité.

Bien qu’issu d’un cerveau quelquefois imaginatif et non d’une réalité complexe, l’exemple ci-dessous est plus réaliste. Les données recueillies montrent en effet souvent une structure en S inversé, c’est-à-dire une première zone de rendements croissants, une deuxième de rendements à peu près constants et une troisième de rendements décroissants. Ce type de situation n'est pourtant pas fréquent dans les manuels de gestion pour illustrer la MCV...

Diverses fonctions peuvent modéliser une telle liaison. Comme ce type de courbe ressemble assez bien à la zone centrale de celle qui représente la fonction cube, j’opérerai une régression sur fonction polynomiale de degré trois. L'exercice est réalisé sur Excel.

Les données figurent sur fond bleu et les calculs sur fond gris :

tableau (données et calculs)

On voit bien que la proportionnalité n’est pas observée sur les coûts variables. Le CA est quant à lui proportionnel aux quantités (prix unitaire de 1,25 euro), ce qui n’est pas toujours le cas dans la réalité (ristournes sur fortes commandes)…

Ces données font donc l’objet d’une régression. Le graphe obtenu est généreux en informations : nuage de points et courbe d’ajustement des coûts totaux (en rouge), droite représentative de la fonction affine du CA (en bleu) et, last but not least, équation de la fonction d’ajustement.

courbe de MCV

On remarque que le seuil de rentabilité se situe un peu au-delà de 1 500 unités produites. Quelle est la quantité qui maximise le bénéfice ? Soit la fonction de résultat f, différence entre la fonction de CA et celle de coût.

f(x) = -0,0000075x³ + 0,0336623x² – 49,59235x + 23847.

Dérivée : f’(x) = -0,0000225x² + 0,067325x – 49,59.

Il s’agit dès lors d’une recherche de racines d’un trinôme, comme on apprend à le faire en classe de première. On trouve 1 297, qui correspond à la pire quantité à produire, et 1 706, qui se révèle être la quantité la plus rentable. L’ordre de grandeur de ces valeurs se vérifie bien entendu sur le graphe.

Quel est le meilleur résultat auquel on peut s’attendre ?

f(1706) = 99,63 €.

Le taux de marge sur coûts variables

C’est le rapport MCV / CA. Les taux sont souvent plus parlants que les valeurs absolues et ils permettent toutes les simulations… Un résultat prévisionnel apparaît alors comme un taux de marge appliqué à un CA prévisionnel et un seuil de rentabilité comme des frais fixes divisés par ce fameux taux.

Mais aussi...

La notion de marge sur coût variable peut aussi s'appliquer à l'activité GLOBALE de l'entreprise. Voir une illustration en page exemple de rentabilité économique.

 

incompréhension

 

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