Les racines énièmes de l'unité

Ensemble $\mathbb{U}$

Les racines de l’unité sont au programme de terminale maths expertes. Cette page vous permettra de goûter à l’ensemble $\mathbb{U},$ pimenté par quelques démonstrations.

L’ensemble $\mathbb{U}$

Soit $n \in \mathbb{N}^*.$ Tout nombre complexe $z$ vérifiant $z^n = 1$ est appelé racine n-ième de l’unité (contrairement à l’usage nous l’écrirons énième puisque ce mot existe !).

Leur ensemble s'écrit $\mathbb{U}.$ Pour $n$ donné, il se note $\mathbb{U}_n.$

$\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C}, z^n = 1\}$

Par propriété, si $z^n = 1$ alors $|z|^n = 1$ donc $z = 1$ puisque $|z| \geqslant 0.$ Il s’ensuit que le module d’une racine énième de l’unité est toujours égal à 1. C’est d’ailleurs assez évident…

On peut donc définir $\mathbb{U}$ d'une autre façon : c’est l’ensemble des nombres complexes de module 1. Dans le plan complexe, son image forme un cercle de rayon 1 dont le centre est l’origine (cercle trigonométrique).

Nous savons qu’un complexe $z$ peut s’écrire sous la forme $re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et l’argument $\theta$ qui peut être interprété comme un angle (c’est un réel défini à $2 \pi$ près). Il existe donc un argument principal tel que $\theta \in \;]- \pi\, ; \pi].$

Ainsi, comme $|z| = 1,$ nous pouvons écrire :

$z^n = 1$
$\Leftrightarrow \left(e^{i\theta}\right)^n = 1$
$\Leftrightarrow e^{i\theta n} = 1$ (démontré en page de formule de Moivre)
$\Leftrightarrow n \theta = 0 + 2k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \theta = \frac{2k \pi}{n}$

La forme exponentielle de $z$ étant $e^{i \theta}$ on en conclut aisément que pour $z \in \mathbb{U}$ nous avons $z_n = e^{\frac{2ik  \pi}{n}}$ que nous écrirons $\exp\left(\frac{2ik \pi}{n}\right)$ pour ne pas que vous perdiez la vue bêtement.

$k$ peut être égal à $0, 1,...,n-1$ (voir les polynômes : le nombre maximal de racines qu’admet un polynôme de degré $n$ est $n$). Nous en arrivons à l'écriture suivante...

$\mathbb{U}_n$ $=$ $\{1, \exp(\frac{2i \pi}{n}), \exp(\frac{4i \pi}{n}), …, \exp(\frac{2i(n-1) \pi}{n})\}$

Premières valeurs de $n$

Le plus simple est $\mathbb{U}_1 = \{1\}.$ D’ailleurs 1 appartient à tous les ensembles $\mathbb{U}_n.$

Ainsi nous vérifions que non seulement $1^1 = 1$ mais aussi que $1^n = 1$ pour tout $n$ entier naturel.

Et $\mathbb{U}_2$ ? Facile, lui aussi ! $\mathbb{U}_2 = \{-1;1\}$

C’est avec $\mathbb{U}_3$ que nous entrons véritablement dans le monde des complexes.

L’équation $z^3 = 1$ admet trois solutions.

$\mathbb{U}_3 = \{1, \exp(\frac{2i \pi}{3}), \exp(\frac{4i \pi}{3})\}$

On préférera employer l’argument principal :

$\mathbb{U}_3 = \{1, \exp(\frac{2i \pi}{3}), \exp(\frac{-2i \pi}{3})\}$

Dans le plan complexe, les images des trois racines forment un triangle équilatéral.

Il est fréquent de noter $\exp(\frac{2i \pi}{2}) = j.$ Nous pouvons donc écrire $\mathbb{U}_3 = \{1, j, \overline j\}.$

Si l’on se réfère à la forme exponentielle, il saute aux yeux que $\overline j$ est aussi $j^2.$

$\mathbb{U}_4$ ne pose aucune difficulté. L’équation $z^4 = 1$ admet quatre racines.

$\mathbb{U}_4 = \{1, \exp(\frac{i \pi}{2}), \exp(i \pi), \exp(\frac{i2 \pi}{2})\}$

Comme vous le soupçonnez au vu des précédentes figures, pour $n \geqslant 2$ les images des $n$ racines énièmes de l’unité forment dans le plan complexe un polygone régulier à $n$ sommets qui s’inscrit dans le cercle trigonométrique.

Pour $n = 5,$ voir la construction du pentagone à la règle et au compas.

Nous avons déjà vu que ces sommets se trouvent sur le cercle puisque $\mathbb{U}$ est l’ensemble des complexes de module 1.

Soit $M_k$ et $M_{k+1}$ les images de deux racines $z_k$ et $z_{k+1}.$

La distance $M_kM_{k+1}$ est donc égale à $|z_{k+1} - z_{k}|.$

Nous ne le démontrerons pas mais sachez que la longueur d’un côté du polygone est $|z_{k+1} - z_{k}| = 2 \sin \frac{\pi}{n}.$

Propriétés de $\mathbb{U}$

$z$ et $z’$ étant deux complexes de module 1, on a $|zz’| = |z||z’| = 1$ ce qui signifie que leur produit appartient lui aussi à $\mathbb{U}.$

Quant à $|z^{-1}|$ il est égal à $\frac{1}{|z|}$ donc à 1.

On dit que $\mathbb{U}$ est stable par produit et par passage à l’inverse.

Ajoutons que $|z|^2 = 1$ donc $z \overline {z} = 1$ d’où $\overline {z} = \frac{1}{z}$

Somme des racines énièmes de l’unité

La somme des $n$ racines énièmes de l’unité est égale à zéro. Démontrons-le.

D’abord il faut remarquer que cette somme est celle des $n - 1$ premiers termes d’une suite géométrique.

$S$ $=$ $1$ $+$ $e^{\frac{2i \pi}{n}}$ $+$ $e^{\frac{4i \pi}{n}}$ $+$ $…$ $+$ $e^{\frac{2i (n-1) \pi}{n}}$

Ainsi $S = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{{\left( {{e^{\frac{{2i\pi }}{n}}}} \right)}^k}}$

Il s’agit bien d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\exp(\frac{2i \pi}{n}).$

Il n’est pas difficile de calculer la somme des $n$ premiers termes.

$S$ $=$ $\frac{{1 - \exp {{\left( {\frac{{2i\pi }}{n}} \right)}^n}}}{{1 - \exp \left( {\frac{{2i\pi }}{n}} \right)}}$
$\Leftrightarrow S$ $=$ $\frac{{1 - \exp {{\left( {\frac{{2in\pi }}{n}} \right)}^{}}}}{{1 - \exp \left( {\frac{{2i\pi }}{n}} \right)}}$

Or nous savons que $e^{2 i \pi} = 1$

Donc $S = 0.$