Les racines énièmes de l'unité

Ensemble \(\mathbb{U}\)

Les racines de l’unité sont au programme de terminale maths expertes. Cette page vous permettra de goûter à l’ensemble \(\mathbb{U},\) pimenté par quelques démonstrations.

 

L’ensemble \(\mathbb{U}\)

Soit \(n \in \mathbb{N}^*.\) Tout nombre complexe \(z\) vérifiant \(z^n = 1 \) est appelé racine n-ième de l’unité (contrairement à l’usage nous l’écrirons énième puisque ce mot existe !).

Leur ensemble s'écrit \(\mathbb{U}.\) Pour \(n\) donné, il se note \(\mathbb{U}_n.\)

\(\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C}, z^n = 1\}\)

Par propriété, si \(z^n = 1\) alors \(|z|^n = 1\) donc \(z = 1\) puisque \(|z| \geqslant 0.\) Il s’ensuit que le module d’une racine énième de l’unité est toujours égal à 1. C’est d’ailleurs assez évident…

On peut donc définir \(\mathbb{U}\) d'une autre façon : c’est l’ensemble des nombres complexes de module 1. Dans le plan complexe, son image forme un cercle de rayon 1 dont le centre est l’origine (cercle trigonométrique).

Nous savons qu’un complexe \(z\) peut s’écrire sous la forme \(re^{i\theta}\) avec \(r = |z|\) et l’argument \(\theta\) qui peut être interprété comme un angle (c’est un réel défini à \(2 \pi\) près). Il existe donc un argument principal tel que \(\theta \in \;]- \pi\, ; \pi].\)

Ainsi, comme \(|z| = 1,\) nous pouvons écrire :

\(z^n = 1\)
\(\Leftrightarrow \left(e^{i\theta}\right)^n = 1\)
\(\Leftrightarrow e^{i\theta n} = 1\) (démontré en page de formule de Moivre)
\(\Leftrightarrow n \theta = 0 + 2k \pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow \theta = \frac{2k \pi}{n}\)

La forme exponentielle de \(z\) étant \(e^{i \theta}\) on en conclut aisément que pour \(z \in \mathbb{U}\) nous avons \(z_n = e^{\frac{2ik  \pi}{n}}\) que nous écrirons \(\exp\left(\frac{2ik \pi}{n}\right)\) pour ne pas que vous perdiez la vue bêtement.

\(k\) peut être égal à \(0, 1,...,n-1\) (voir les polynômes : le nombre maximal de racines qu’admet un polynôme de degré \(n\) est \(n\)). Nous en arrivons à l'écriture suivante...

\(\mathbb{U}_n\) \(=\) \(\{1, \exp(\frac{2i \pi}{n}), \exp(\frac{4i \pi}{n}), …, \exp(\frac{2i(n-1) \pi}{n})\}\)

 

\(n \leqslant 4\)

Le plus simple est \(\mathbb{U}_1 = \{1\}.\) D’ailleurs 1 appartient à tous les ensembles \(\mathbb{U}_n.\)

Ainsi nous vérifions que non seulement \(1^1 = 1\) mais aussi que \(1^n = 1\) pour tout \(n\) entier naturel.

Et \(\mathbb{U}_2\) ? Facile, lui aussi ! \(\mathbb{U}_2 = \{-1;1\}\)

C’est avec \(\mathbb{U}_3\) que nous entrons véritablement dans le monde des complexes.

L’équation \(z^3 = 1\) admet trois solutions.

\(\mathbb{U}_3 = \{1, \exp(\frac{2i \pi}{n}), \exp(\frac{4i \pi}{n})\}\)

On préférera employer l’argument principal :

\(\mathbb{U}_3 = \{1, \exp(\frac{2i \pi}{n}), \exp(\frac{-2i \pi}{n})\}\)

Dans le plan complexe, les images des trois racines forment un triangle équilatéral.

3 images

Il est fréquent de noter \(\exp(\frac{2i \pi}{2}) = j.\) Nous pouvons donc écrire \(\mathbb{U}_3 = \{1, j, \overline j\}.\)

Si l’on se réfère à la forme exponentielle, il saute aux yeux que \(\overline j\) est aussi \(j^2.\)

\(\mathbb{U}_4\) ne pose aucune difficulté. L’équation \(z^4 = 1\) admet quatre racines.

\(\mathbb{U}_4 = \{1, \exp(\frac{i \pi}{2}), \exp(i \pi), \exp(\frac{i2 \pi}{2})\}\)

4 images

Comme vous le soupçonnez au vu des précédentes figures, pour \(n \geqslant 2\) les images des \(n\) racines énièmes de l’unité forment dans le plan complexe un polygone régulier à \(n\) sommets qui s’inscrit dans le cercle trigonométrique.

Nous avons déjà vu que ces sommets se trouvent sur le cercle puisque \(\mathbb{U}\) est l’ensemble des complexes de module 1.

Soit \(M_k\) et \(M_{k+1}\) les images de deux racines \(z_k\) et \(z_{k+1}.\)

La distance \(M_kM_{k+1}\) est donc égale à \(|z_{k+1} - z_{k}|.\)

Nous ne le démontrerons pas mais sachez que la longueur d’un côté du polygone est \(|z_{k+1} - z_{k}| = 2 \sin \frac{\pi}{n}.\)

 

Propriétés de \(\mathbb{U}\)

\(z\) et \(z’\) étant deux complexes de module 1, on a \(|zz’| = |z||z’| = 1\) ce qui signifie que leur produit appartient lui aussi à \(\mathbb{U}.\)

Quant à \(|z^{-1}|\) il est égal à \(\frac{1}{|z|}\) donc à 1.

On dit que \(\mathbb{U}\) est stable par produit et par passage à l’inverse.

Ajoutons que \(|z|^2 = 1\) donc \(z \overline {z} = 1\) d’où \(\overline {z} = \frac{1}{z}\)

 

Somme des racines énièmes de l’unité

La somme des \(n\) racines énièmes de l’unité est égale à zéro. Démontrons-le.

D’abord il faut remarquer que cette somme est celle des \(n - 1\) premiers termes d’une suite géométrique.

\(S\) \(=\) \(1\) \(+\) \(e^{\frac{2i \pi}{n}}\) \(+\) \(e^{\frac{4i \pi}{n}}\) \(+ \) \(…\) \(+\) \(e^{\frac{2i (n-1) \pi}{n}}\)

Ainsi \(S = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{{\left( {{e^{\frac{{2i\pi }}{n}}}} \right)}^k}} \)

Il s’agit bien d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\exp(\frac{2i \pi}{n}).\)

Il n’est pas difficile de calculer la somme des \(n\) premiers termes.

\(S\) \(=\) \(\frac{{1 - \exp {{\left( {\frac{{2i\pi }}{n}} \right)}^n}}}{{1 - \exp \left( {\frac{{2i\pi }}{n}} \right)}}\)
\(\Leftrightarrow S\) \(=\) \(\frac{{1 - \exp {{\left( {\frac{{2in\pi }}{n}} \right)}^{}}}}{{1 - \exp \left( {\frac{{2i\pi }}{n}} \right)}}\)

Or nous savons que \(e^{2 i \pi} = 1\)

Donc \(S = 0.\)

 

fers à cheval