Tracé d'un pentagone régulier dans le plan complexe
La construction d’un pentagone régulier à la règle et au compas fait partie des problèmes résolvables en terminale générale maths expertes. Les Grecs anciens mettaient un point d’honneur à tracer des figures géométriques de cette façon et c’est cette tradition que nous vous invitons à retrouver…
Énoncé
- Soit \(t = e^{\frac{2i \pi}{5}}.\) Montrer que
\(1 + t + t^2 + t^3 +t^4\) \(=\) \(0\)
- Soit \(u = t + \frac{1}{t}\). Montrer que \(u^2 + u = 1.\)
- Montrer que \(u = e^{\frac{2i \pi}{5}} + e^{-\frac{2i \pi}{5}}\) et en donner une forme trigonométrique, puis en déduire son signe.
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(u^2 + u - 1 = 0.\) En déduire la valeur de \(\cos \frac{2 \pi}{5}.\)
- Muni de ce résultat, tracer un pentagone à la règle et au compas.
Corrigé
1- La somme des cinq premières racines de 1 est égale à zéro. Voir la démonstration à la fin de la page sur l’ensemble \(\mathbb{U}\).
2- L’idée est de développer l'expression en \(u\) pour retrouver celle de la question précédente.
\((t + \frac{1}{t})^2 t +\frac{1}{t}\) \(=\) \(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} + t + \frac{1}{t}\)
Plaçons tout sur le même dénominateur. L’équation que nous devons démontrer devient :
\(\frac{t^4 + 2t^2 + 1 + t^3 + t}{t^2} = \frac{t^2}{t^2}\)
\(\Leftrightarrow t^4 + 2t^2 + 1 + t^3 + t - t^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 = 0\)
À la question précédente nous avons montré que cette égalité était vraie.
3- D’après l’énoncé, \(u = t + \frac{1}{t}\) et \(t = e^{\frac{2i \pi}{5}}.\)
Donc \(u = e^{\frac{2i \pi}{5}} + e^{-\frac{2i \pi}{5}}\) et, d’après la formule d’Euler, \(u = 2 \cos \frac{2 \pi}{5}.\) Nous en déduisons que \(u\) est positif.
4- \(u^2 + u - 1 = 0.\) C'est une simple équation du second degré. Le discriminant est égal à \(1^2 + 4 = 5.\) Il est positif donc l’équation admet deux racines réelles.
\(u_1 = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(u_2 = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) soit une racine positive et une négative.
Nous savons que \(u > 0\) donc \(u = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}\) et d’après la question précédente, \(\cos \frac{2 \pi}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}.\)
5- Le polynôme de la question 1 nous donne les racines cinquièmes de l’unité bien utiles pour tracer un pentagone régulier puisqu'il suffit de placer les images des cinq racines sur le cercle trigonométrique (voir la page sur l’ensemble \(\mathbb{U}\)).
Comme ces images se trouvent sur le cercle, leurs affixes suffisent à notre tracé. Et les sommets du pentagone se trouvant à égale distance, l'exercice consiste à placer deux points seulement, leur distance étant ensuite reproduite avec le compas. Le placement du premier sommet est enfantin puisque c’est l’image de 1. C’est le deuxième qui nous causera quelques difficultés.
Pour réaliser un pentagone à la règle et au compas, traçons un repère orthonormé (comme expliqué en page de perpendicularité à la règle et au compas) puis un cercle auquel on attribuera arbitrairement un rayon de 1. Plaçons le premier point que nous appellerons \(M_0\).
Nous avons vu que \(\frac{\sqrt{5} - 1 }{4}\) était racine cinquième de l’unité. Ce sera l’affixe à placer dans le plan complexe. La tâche sera plus commode si l'on réécrit ce nombre sous la forme \(\frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4}.\)
En effet, \(\frac{\sqrt 5}{4}\) est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{1}{4}\) puisque son carré vaut \(\frac{5}{16},\) c’est-à-dire \(\frac{1}{4} + \frac{1}{16}.\)
Comment obtenir des segments de longueur \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{1}{4}\) ? En traçant des médiatrices (là encore, voir la page sur la perpendicularité à la règle et au compas).
Ci-dessous, la partie basse du cercle nous a servi à trouver un écartement du compas de longueur \(\frac{1}{2}.\)
Réitérez l’opération pour trouver un écartement de compas de longueur \(\frac{1}{4}.\)
L’ouverture du compas de \(\frac{1}{4}\) permet de placer le point \(P.\)
Ensuite, tracez la perpendiculaire à la droite \((OP)\) passant par \(P\) (si vous hésitez encore, retournez prendre vos instructions en page de perpendiculaire à la règle et au compas). Vous pouvez ainsi tracer le triangle rectangle dont l’hypoténuse vaut \(\frac{\sqrt{5}}{4}\) dont vous retirez \(\frac{1}{4}.\) D’ailleurs, votre compas était déjà réglé sur \(\frac{1}{4}.\) Vous obtenez un point \(P’\) sur l’axe des réels.
Puis vous tracez la perpendiculaire à l’axe des réels passant par \(P’\) (bon, maintenant, vous savez faire) ce qui vous permet de placer le point \(M_1\) et accessoirement \(M_4.\)
Écartez votre compas à la longueur \(M_0 M_1\) pour placer \(M_2\) et \(M_3.\) Reliez les points, désormais sommets du pentagone. Mission accomplie.
