Division euclidienne et mesure principale
Cette page de trigonométrie trouve sa place dans plusieurs filières. La notion de mesure principale n'est pas expressément mentionnée dans le programme de maths de première générale mais il est courant de la retrouver dans les exercices. Quoi qu'il en soit, elle figure dans celui des premières STI2D et STL.
On supposera que vous maîtrisez la mesure des angles orientés et l'enroulement du cercle trigonométrique (sinon, ça risque d’être compliqué).
Présentation
Vous savez qu’à un angle formé par deux vecteurs est associée une infinité de mesures en radians. Si l’une des mesures est \(\alpha,\) alors toutes les mesures sont de la forme \(\alpha + 2k\pi,\) \(k\) étant un entier relatif.
La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure qui est comprise dans l’intervalle \(]-\pi\,;\pi].\) Elle est donc lisible directement sur le cercle trigonométrique.
Avant d’aller plus loin, rappelons ce qu’est une division euclidienne. D’accord, elle est au programme de CM1, mais il est parfois utile de se replonger dans les souvenirs de notre tendre enfance.
La division euclidienne, ou entière, est l’opération qui divise un entier appelé dividende par un autre entier appelé diviseur. Le résultat entier est le quotient. L’entier qui est le reliquat de la division est le reste (voir la page sur l'arithmétique).
Exemple : 40 (dividende) divisé par 6 (diviseur) donne 6 (quotient) plus un reste de 4. On ne peut pas l’écrire sous forme \(40/6 = 6 + 4\) car cela prêterait à une horrible confusion.
Avec la plupart des calculatrices, soit vous devez créer ou télécharger un programme, soit vous opérez en deux temps.
Techniques
Pour déterminer une mesure principale à partir d’une autre mesure d’angle, voyons deux techniques très proches. Vous choisirez celle qui vous semble la plus pratique.
Première technique : il vous faut procéder à la division entière par \(2\pi.\) Le reste permet de trouver la mesure principale.
Par exemple, trouvons celle de l’angle \(\frac{345\pi}{6}\)
La division par \(2\pi\) donne \(\frac{345}{12},\) soit 28,75. Donc le quotient est 28. Or, \(28 \times 12 = 336.\) D'où un reste de \(345 - 336 = 9.\) Posons :
\(\frac{345\pi}{6} = [(28 \times 12) + 9] \times \frac{\pi}{6}\)
Une mesure est donc \(\frac{9\pi}{6},\) c’est-à-dire \(\frac{3\pi}{2}.\) Ce n’est pas la mesure principale puisque \(\frac{3}{2} > 1\) mais il est facile de terminer le travail. Si l’on fait un tour de \(\frac{3\pi}{2}\) sur le cercle trigonométrique, on arrive au même point si l’on parcourait \(-\frac{1}{2}\) tour. Évident. Donc la mesure principale est \(-\frac{\pi}{2}.\)
Seconde technique : vous pouvez diviser directement 345 par 6, et non par 12. On trouve 57,5. L’entier le plus proche est 58 (règle de l’arrondi). \(58 \times 6 = 348.\) On a « dépassé » de 3 le 345 qui était visé.
\(\frac{345\pi}{6} = [(58 \times 6) - 3] \times \frac{\pi}{6}\)
On élimine le quotient \(58\pi\) puisque 58 est un nombre pair (il correspond à un nombre entier de tours du cercle trigonométrique). Il nous reste \(-\frac{3\pi}{6},\) donc \(-\frac{\pi}{2}.\)
Autre exemple. Quelle est la mesure principale de l’angle mesurant \(\frac{47}{3}\pi\) ?
Essayons la seconde technique. D’abord, il faut diviser 47 par 3. La division euclidienne donne 15 et il reste 2. Donc :
\(\frac{47\pi}{3}\) \(= \frac{\pi[(15 \times 3) + 2]}{3}\) \(= 15\pi + \frac{2\pi}{3}\)
En l’occurrence, le cercle a été complètement parcouru sept fois et demi, plus \(\frac{2\pi}{3}.\) On élimine les tours complets et il ne reste que \(\pi + \frac{2\pi}{3}.\) Cette fois-ci, il subsiste \(\pi\) puisque le quotient de la division entière était impair.
Toutefois, nous ne sommes pas parvenu à une mesure principale puisque nous nous situons au-delà de l’intervalle \(]-\pi\,\pi].\) En fait, comme les angles \(\pi\) et \(-\pi\) sont les mêmes, il suffit de remplacer \(\pi\) par \(-\pi\) et le tour est joué.
Donc \(-\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}.\)
Exercice 1
Déterminer les mesures principales de \(500\pi,\) de \(-5\pi\) et de \(-\frac{80\pi}{3}.\)
Exercice 2
Quelle est la mesure principale de 100 ?
Corrigé 1
La mesure principale de \(500\pi\) est 0, comme d’ailleurs toutes les mesures de \(\pm k\,\pi\) avec \(k\) = nombre pair. La mesure principale de \(-5\pi\) est \(\pi,\) comme toutes les mesures de \(\pm k\,\pi\) avec \(k\) = nombre impair. Enfin, pour connaître celle de \(-\frac{80\pi}{3},\) divisons par \(2\pi\) (première technique). Soit \(-\frac{80}{6}.\) Quotient : 13. Reste : 2.
\(-\frac{80\pi}{3} = -[(13 \times 6) + 2] \times \frac{\pi}{3}\)
La mesure principale est donc \(-\frac{2\pi}{3}.\)
En divisant directement, on obtient la décomposition suivante :
\(-[(27 \times 3) - 1] \times \frac{\pi}{3}\) \(= -27\pi + \frac{\pi}{3}\)
Nous remarquons que dans le premier élément \(\pi\) est multiplié par un nombre impair. Ce terme n’est donc pas purement supprimé et nous conservons \(-\pi.\) Nous vérifions alors avec soulagement que la mesure principale est \(-\pi + \frac{\pi}{3}\) \(= - \frac{2\pi}{3}.\)
Corrigé 2
Ce type d’exercice est moins habituel mais il est fort simple.
Si l’on divise 100 par \(\pi,\) on obtient environ 31,83. L’entier le plus proche est 32 (nombre pair). Donc 100 est égal à \(32\pi\) moins un reste, qui est évidemment égal à \(100 - 32\pi.\) Pour obtenir la mesure principale, il suffit d’éliminer \(32\pi\) qui correspond à 16 tours complets du cercle. Donc, mesure principale : \(100 - 32\pi.\) On peut vérifier à la calculatrice que le réel obtenu se situe bien dans l’intervalle \(]-\pi\,;\pi],\) soit aux alentours de -0,53.
