Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La positivité des intégrales

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Intégration et positivité

C’est en classe de terminale que l’on découvre un formidable outil mathématique, l’intégration. Formidable dans ses applications pratiques (bien qu’elles ne se découvrent pas encore en terminale) et par les propriétés dont sont munies les intégrales : la linéarité, la relation de Chasles et la positivité.

Au sens large, la positivité s’énonce elle-même par deux propriétés.

Propriété 1 : la positivité

Soit a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur l’intervalle [a ; b].

Si pour tout réel x ∈ [a ; b] f(x) ≥ 0, alors :

intégrale > 0

Comment se fait-il ? Soit F une primitive de f sur [a ; b]. Donc pour tout x de [a ; b], F’(x) = f(x). Comme sur cet intervalle f est positive, nous déduisons que F est croissante. Donc F(a) ≤ F(b). Rappelons que l’intégrale de f entre a et b s’obtient par la différence F(b) – F(a). En l’occurrence, F(b) – F(a) ≥ 0. La démonstration est faite.

Remarque : la réciproque est fausse. Soit par exemple f définie sur [-1 ; 2] par la fonction identité f(x) = x.

remarque

Certes, l’intégrale est positive mais f ne l’est pas sur tout l’intervalle. Ainsi f(-1) = -1.

Propriété 2 : l’ordre

Nous sommes toujours en présence de a et b, deux réels tels que a < b ; f et g sont deux fonctions telles que pour tout réel x de [a ; b] nous avons f(x) ≤ g(x). Alors…

inégalité

Pourquoi ?

Si pour tout x de [a ; b] f(x) ≤ g(x), alors d’après la propriété précédente :

positivité

Remarque 1 : là aussi, la réciproque est fausse.

Remarque 2 : cette propriété permet d’encadrer une intégrale (voir exercice 2 ci-dessous).

Exercice 1

Quel est le signe de l’intégrale suivante ?

ex 1

Exercice 2

1- Montrer que pour tout réel x ≥ 1 :

encadrement

2- Calculer :

entre 1 et 3

3- En déduire un encadrement de ln 3.

Corrigé 1

Quel que soit x, son exponentielle est positive. Quel que soit ≥ 0, x + 2 ≥ 2, donc ln (+ 2) > 0. Un produit de facteurs positifs étant positif, l’intégrale l’est aussi sans l’ombre d’un doute.

Corrigé 2

1- Tout réel x supérieur à 1 est supérieur à sa racine carrée et inférieur à son carré.

Donc :

inégalités

La fonction inverse étant décroissante sur [1 ; +∞[, nous avons :

inégalités

2- Une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme (NB : la notation entre crochets ci-dessous n’est plus guère employée en terminale bien qu’elle soit très pratique).

ln 3

Il s’ensuit fort logiquement que :

ln 3

Si vous avez du mal à passer à l’étape suivante, relisez la page primitives usuelles.

étape de calcul

dernière étape

Vous pouvez d’ailleurs le vérifier à l’aide de votre calculatrice préférée.

 

super positif

 

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