Lecture graphique d'une aire sous courbe
Quelques exemples d’application sur l’intégration, début de chapitre. Le niveau de difficulté est celui de la terminale générale, maths complémentaires ou de spécialité. Bon, il s’agit plus d’un niveau de facilité que d’un niveau de difficulté ! C’est pourquoi nous ne présentons pas d’exercices à proprement parler mais plutôt la méthode.
Méthode
Soit la fonction \(f\) représentée par la courbe ci-dessous.
\[A = \int_{-4}^0 {f(x)dx} \]
Donner un encadrement à l’unité de \(A\) en unités d’aire (u.a).
Rappelons que l’intégrale nous donne ce nombre d’u.a.
Comment faire ? Sélectionnez d’abord les u.a entièrement prises en compte entre \(x = -4,\) \(x = 0,\) l'axe des abscisses et la courbe. Il y en a six.
Ensuite, sélectionnez des zones qui peuvent se comparer à une u.a en s’additionnant. Ci-dessous, les deux parties d’u.a peintes en bleu équivalent à peu près à une u.a complète. Idem avec la zone peinte en orange.
Nous en sommes donc à huit. Il reste environ une moitié d’u.a. Comme l’énoncé demande un encadrement à l’unité, on peut écrire \(8 < A < 9.\)
Note : l’unité de mesure n’est pas toujours l’unité d’aire. Ce peut être des cm², par exemple. Il faut donc penser à la conversion.
Par exemple, si l’énoncé précise qu’un carreau vaut 4 cm², on trouve une aire comprise entre 32 et 36 cm².
Repère non orthonormé
Dans certains exercices, la courbe sera peut-être tracée dans un repère orthogonal où abscisses et ordonnées n’ont pas la même norme.
La courbe représentative d’une fonction reproduite ci-dessous faisait partie d’un QCM à l’épreuve du bac ES Pondichéry, mai 2018.
La question était la suivante :
- On note \(\mathscr{A}\) l’aire, mesurée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe \(\mathscr{C},\) l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x = 1\) et \(x = 4.\) Cette aire vérifie :
- a. \(20 \leqslant \mathscr{A} \leqslant 30\)
b. \(10 \leqslant \mathscr{A} \leqslant 15\)
c. \(5 \leqslant \mathscr{A} \leqslant 8\)
Si l’on se contente de compter les carreaux, on choisit la réponse a. Funeste erreur ! Une u.a équivaut à deux carreaux puisqu’en abscisse, le pas de graduation est 0,5.
La réponse correcte est b.
Plus précisément, \(11 \leqslant \mathscr{A} \leqslant 12.\)
