Convexité au bac
L’exercice qui suit est extrait de l’épreuve de mathématiques du bac ES des centres étrangers en juin 2013. Il constitue un bon entraînement sur la dérivation et la convexité. Si vous êtes en terminale générale et si d’aventure vous étudiez la convexité avant la fonction exponentielle et la fonction logarithme, il est recommandé ! En effet, comme les exercices de convexité sur fonction rationnelle sont rares dans les annales, vous pouvez fort bien retrouver celui-ci à la prochaine interrogation…
Énoncé
- On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([2\,;8]\) par :
- \[f(x) = \frac{-x^2+10x-16}{x^2}\]
- 1- Montrer que pour tout réel de l’intervalle \([2\,;8],\) on a :
- \[f'(x) = \frac{-10x+32}{x^3}\]
- 2- a) Étudiez le signe de \(f’(x)\) sur l’intervalle \([2\,;8].\)
- b) En déduire le tableau de variation de \(f\) sur l’intervalle \([2\,;8].\)
- 3- On appelle \(f’’\) la dérivée seconde de \(f\) sur \([2\,;8],\) on a :
- \[f''(x) =\frac{20x-96}{x^4}\]
Question non posée au bac : retrouver l’expression de \(f’’(x)\) à partir de \(f’(x).\)
- a) Montrer que \(f\) est une fonction convexe sur \([4,8\,;8].\)
- b) Montrer que le point de \(\mathscr{C}\) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion.
Indications de corrigé
1- Voici une présentation qui était courante dans les épreuves du bac ES : comme il est nécessaire de déterminer \(f’(x)\) pour poursuivre l’exercice, la réponse est donnée. Il est ainsi possible de commencer l’exercice à partir de la question 2 lorsqu’on ne sait pas dériver !
En l’occurrence, nous devons dériver une fonction rationnelle.
Rappel. La dérivée de \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) est \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v(x)^2}\)
Nous avons \(u(x) = -x^2 + 10x - 16\) et donc \(u’(x) = -2x + 10.\) \(v(x) = x^2\) donc \(v’(x) = 2x.\)
\(f'(x)\) \(= \frac{x^2(-2x+10)-2x(-x^2+10x-16)}{x^4}\)
Factorisons le numérateur par \(x.\)
\(f'(x)\) \(=\frac{x[x(-2x+10)-2(-x^2+10x-16)]}{x^4}\)
Simplifions par \(x\) et développons le numérateur.
\(f'(x)\) \(= \frac{-2x^2+10x+2x^2-20x+32}{x^3}\) \(=\frac{-10x+32}{x^3}\)
2- a) Étude du signe de \(f’(x).\)
\(-10x + 32 > 0\) \(⇔ x < 3,2\)
Si \(2 \leqslant x < 3,2\) alors \(f’(x) > 0\)
Si \(3,2 < x \leqslant 8\) alors \(f’(x) < 0\)
Si \(x = 3,2\) alors \(f’(x) = 0\)
b) Nous en déduisons que \(f\) est croissante sur \([2\,; 3,2]\) et décroissante sur \([3,2\,;8].\) La calculatrice permet de déterminer \(f(2),\) \(f(8)\) et \(f(3,2).\)
3- Question supplémentaire :
\(u(x) = -10x + 32\) donc \(u’(x) = -10\) et \(v(x) = x^3\) donc \(v’(x) = 3x^2.\)
\(f''(x)\) \(= \frac{-10x^3-3x^2(-10x+32)}{x^6}\)
Factorisons le numérateur par \(x^2\) :
\(f''(x)\) \(=\frac{x^2(-10x+30x-96)}{x^6}\) \(=\frac{20x-96}{x^4}\)
a) Comme \(x > 0,\) le dénominateur de \(f’’(x)\) est positif. Il s’ensuit que le signe de \(f’’\) est le signe de \(20x - 96.\)
\(20x -96 > 0\) \(⇔ x > 4,8.\)
Par conséquent, \(f’’(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([4,8\,;8].\)
Comme la dérivée seconde est positive sur cet intervalle, la fonction \(f\) est convexe sur \([4,8\,;8].\)
b) D’après la question précédente, \(f’’(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\) appartenant à \([4,8\,;8]\) et \(f’’(x) \leqslant 0\) pour tout \(x\) appartenant à \([2\,;4,8].\) De plus \(f’’(4,8) = 0.\)
Comme la dérivée seconde s’annule et change de signe en 4,8, nous déduisons que la courbe \((C)\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse \(x = 4,8.\)
Et voici \(\mathscr{C}\) tracée par GeoGebra…
