Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exercice sur la convexité

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Convexité au bac ES

L’exercice qui suit est extrait de l’épreuve de mathématiques du bac ES des centres étrangers en juin 2013. Il constitue un bon entraînement sur la dérivation et la convexité. Si vous êtes en terminale ES et si d’aventure vous étudiez la convexité avant la fonction exponentielle et la fonction logarithme je vous le recommande ! En effet, comme les exercices de convexité sur fonction rationnelle sont rares dans les annales, vous pouvez fort bien retrouver celui-ci au prochain DST…

Énoncé

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 8] par :

f(x)

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

1- Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

f'(x)

2- a) Étudiez le signe de f’(x) sur l’intervalle [2 ; 8].

b) En déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle [2 ; 8].

3- On appelle f’’ la dérivée seconde de f sur [2 ; 8], on a :

f''(x)

*) Question non posée au bac : retrouver l’expression de f’’(x) à partir de f’(x).

a) Montrer que f est une fonction convexe sur [4,8 ; 8].

b) Montrer que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion.

Indications de corrigé

1- Voici une présentation commune dans les épreuves du bac ES : comme il est nécessaire de déterminer f’(x) pour poursuivre l’exercice, la réponse est donnée. Il est ainsi possible de commencer l’exercice à partir de la question 2 lorsqu’on ne sait pas dériver !

En l’occurrence, nous devons dériver une fonction rationnelle. Rappelons que (u / v)’ = (u’v – v’u) / v².

Nous avons u(x) = -x² + 10x  16 et donc u’(x) = -2x + 10. v(x)  donc v’(x) = 2x.

1ère étape

Factorisons le numérateur par x.

2ème étape

Simplifions par x et développons le numérateur.

3ème étape

2- a) Étude du signe de f’(x).

-10x + 32 > 0 ⇔ x < 3,2

tableau de signes

Si 2 ≤ x < 3,2 alors f’(x) > 0
Si 3,2 < x ≤ 8 alors f’(x) < 0
Si x = 3,2 alors f’(x) = 0

b) Nous en déduisons que f est croissante sur [2 ; 3,2] et décroissante sur [3,2 ; 8]. La calculatrice permet de déterminer f(2), f(8) et f(3,2).

tableau de variation

3- Question supplémentaire :

u(x) = -10+ 32 donc u’(x) = -10 et v(x) = x3 donc v’(x) = 3.

f''(x)

Factorisons le numérateur par  :

f''(x)

a) Comme x > 0, le dénominateur de f’’(x) est positif. Il s’ensuit que le signe de f’’ est le signe de 20x – 96.

20x – 96 > 0 ⇔ x > 4,8.

Par conséquent, f’’(x) ≥ 0 pour tout x appartenant à l’intervalle [4,8 ; 8].

Comme la dérivée seconde est positive sur cet intervalle, la fonction f est convexe sur [4,8 ; 8].

b) D’après la question précédente, f’’(x) ≥ 0 pour tout x appartenant à [4,8 ; 8] et f’’(x) ≤ 0 pour tout x appartenant à [2 ; 4,8]. De plus f’’(4,8) = 0.

Comme la dérivée seconde s’annule et change de signe en 4,8, nous déduisons que la courbe (C) admet un point d’inflexion au point d’abscisse x = 4,8.

Et voici (C) tracée par GeoGebra…

courbe (C)

 

inflexions

 

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