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(et fondements mathématiques)

La diagonalisation

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Réduction d'endomorphisme par diagonalisation

Les matrices constituent une merveilleuse invention, vous n’en doutez pas. Mais leur maniement est parfois lourd. D’où une idée non moins merveilleuse, celle d’utiliser une matrice d’emploi plus simple lorsque certaines opérations le réclament. Si la matrice de départ est carrée, une diagonalisation est peut être possible. Certaines propriétés sont ainsi conservées.

Lorsqu’une application linéaire s’effectue à l’intérieur même d’un espace vectoriel E de dimension n (endomorphisme), la matrice M qui lui est associée est carrée n × n. La meilleure simplification est donc celle qui transformera cette dernière en matrice diagonale, c’est-à-dire avec des scalaires sur la diagonale et des zéros partout ailleurs, moyennant l’intervention d’une matrice de passage P qui permet de se trouver dans une nouvelle base. M doit être semblable à sa diagonale.

Ainsi, on dit qu’une application est diagonalisable dans le corps des réels ou des complexes si l’on peut trouver une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale. Le terme « diagonaliser » s’emploie d’ailleurs aussi bien pour les applications que pour les matrices qui leur sont associées.

Cette base est formée avec les n vecteurs propres de E. Une diagonalisation exige donc l’existence de n valeurs propres. Il doit exister une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que : M = PDP-1.

Mode d’emploi

En mode manuel, les étapes sont les suivantes : d’abord, recherche des racines du polynôme caractéristique (valeurs propres). Si celles-ci sont toutes différentes, la diagonalisation est possible. Il arrive toutefois que certains coefficients soient complexes, même si la matrice n’a que des valeurs réelles (voir page diagonalisation avec complexes). Si au contraire plusieurs racines sont les mêmes, tout n’est pas perdu car la dimension du sous-espace propre est peut-être quand même égale à n.

NB : si une diagonalisation n’est pas possible, un triangularisation l’est peut-être.

Exemple simple

Soit la matrice suivante :

martice M

Déterminons le polynôme caractéristique, les valeurs propres, des vecteurs propres puis écrivons M sous la forme PDP-1.

polynôme caractéristique

Nous repérons une identité remarquable. La factorisation donne (3 – λ)(7 – λ). Les deux valeurs propres sont donc 3 et 7.

Nous avons déjà notre matrice diagonale D :

diagonale

Premier cas, λ = 3

Si la valeur propre est égale à 3 et que l’on nomme V un vecteur propre associé, alors MV = 3V.

Soit x et y les coordonnées de V. On obtient un système de deux équations.

système 1

L’objectif n’est pas trouver deux solutions puisqu’il existe une colinéarité. On observe en effet que les deux équations se traduisent par x = -2y.

Le plus simple est de considérer que y = 1 et x = -2 mais n’importe quel multiple de ces coordonnées serait valable.

Donc

V1

Second cas, λ = 7

Mêmes opérations.

système 2

Les deux équations se traduisent par x = 2y. Considérons que y = 1 (il est habituel de considérer que l’une des coordonnées est égale à 1). Dans ce cas, x = 2.

Donc, un autre V...

V2

La matrice de passage P est composée des deux vecteurs propres.

matrice de passage

Pour parfaire notre équation, il ne nous reste plus qu’à inverser P.

Nous avons un nouveau système :

système 3

Passons sur les étapes. Le système est modifié pour obtenir le suivant :

système 4

Donc :

inverse de la matrice de passage

Conclusion :

conclusion

Question subsidiaire. À quoi est égal  ?

On peut la calculer directement ou n’appliquer la puissance 3 qu’à la seule matrice diagonale.

 M au cube

 

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