Exemple de réduction d'endomorphisme dans \(\mathbb{C}\)
Les diagonalisations « manuelles » de matrices carrées constituent une activité typiquement estudiantine dans la mesure où les logiciels de maths ou d’analyse de données font ce travail sans état d’âme. En effet, si un chef de service demandait à un chargé d’études d’extraire sans informatique les valeurs propres d’une matrice 5 × 5, l’humeur de ce dernier serait vite celle d’un dragon atteint d’une rage de dents…
Énoncé
Sur cette page, une modeste matrice 2 × 2 vous dévoilera ses mystères.
Déterminons les valeurs propres de la matrice suivante afin d’établir une diagonale et la matrice de passage qui lui est associée.
\[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}\\ 3&1 \end{array}} \right)\]
Vérification
Le déterminant n’est pas nul puisqu’il est égal à 9. On voit d’ailleurs à l’œil nu qu’il n’y a aucune colinéarité.
Étude
Cette petite vérification étant faite, déterminons son polynôme caractéristique. Avec une matrice 2 × 2, l’opération est d’une désarmante simplicité.
\({P_m}(\lambda ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \lambda }&{ - 2}\\ 3&{1 - \lambda } \end{array}} \right)\) \( = (3 - \lambda )(1 - \lambda ) + 6\) \( = {\lambda ^2} - 4\lambda + 9\)
Alors bien sûr, on calcule le discriminant mais on s’aperçoit alors qu’il est négatif : \(\Delta = - 20\). Les racines sont donc complexes.
Ces racines, qui sont les valeurs propres recherchées, sont \({\lambda _1} = 2 + i\sqrt 5 \) et \({\lambda _2} = 2 - i\sqrt 5 \).
Donc, la matrice diagonale est :
\(D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + i\sqrt 5 }&0\\ 0&{2 - i\sqrt 5 } \end{array}} \right)\)
Pour relier \(M\) à \(D\), plus précisément pour que \(D\) soit l’expression de \(M\) dans une nouvelle base, il faut déterminer la matrice de passage \(P\).
Pour cela, calculons les deux vecteurs propres associés aux deux valeurs propres.
D’abord, la première valeur propre \({\lambda _1}\).
\(3x - 2y = (2 + i\sqrt 5 )x\)
Prenons par exemple \(x = 1\).
\(y = \frac{{ - i\sqrt 5 + 1}}{2}\)
\({\lambda _2}\) est le conjugué de \({\lambda _1}\). On obtient donc facilement pour \(x = 1\) les coordonnées du second vecteur propre. Notre matrice de passage s’établit ainsi :
\[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ {\frac{{ - i\sqrt 5 + 1}}{2}}&{\frac{{i\sqrt 5 + 1}}{2}} \end{array}} \right)\]
