Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exemple de diagonalisation avec complexes

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Exemple de réduction d'endomorphisme dans C

Les diagonalisations « manuelles » de matrices carrées constituent une activité typiquement estudiantine dans la mesure où les logiciels de maths ou d’analyse de données font ce travail sans état d’âme. En effet, si un chef de service demandait à un chargé d’études d’extraire sans informatique les valeurs propres d’une matrice 5 × 5, l’humeur de ce dernier serait vite celle d’un spinosaure atteint d’une rage de dents…

Sur cette page, une modeste matrice 2 × 2 vous dévoilera ses mystères.

Déterminons les valeurs propres de la matrice suivante afin d’établir une diagonale et la matrice de passage qui lui est associée.

exemple

Le déterminant n’est pas nul puisqu’il est égal à 9. On voit d’ailleurs à l’œil nu qu’il n’y a aucune colinéarité.

Cette petite vérification étant faite, déterminons son polynôme caractéristique. Avec une matrice 2x2, l’opération est d’une désarmante simplicité.

polynôme caractéristique

Alors bien sûr, on calcule le discriminant mais on s’aperçoit alors qu’il est négatif (Δ = -20) et donc que les racines sont complexes.

Ces racines, qui sont les valeurs propres recherchées, s’établissent ainsi :

racines

Donc, la matrice diagonale est :

diagonale

Pour relier M à D, plus précisément pour que D soit l’expression de M dans une nouvelle base, il faut déterminer la matrice de passage P.

Pour cela, calculons les deux vecteurs propres associés aux deux valeurs propres.

D’abord, la première valeur propre λ1.

lambda 1

Prenons par exemple x = 1, on obtient :

y

λ2 est le conjugué de λ1. On obtient donc facilement pour x = 1 les coordonnées du second vecteur propre. Notre matrice de passage s’établit ainsi :

matrice de passage

 

passage

 

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