Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

L'inversion de matrice

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Découverte de l'inversion des matrices

Niveau du contenu de cette page : terminales ES et S spécialité maths.

Si l’inversion d’une matrice apparaît comme un exercice rébarbatif lorsqu’il est réalisé « à la main », elle ouvre de vastes perspectives pour la résolution de systèmes de plusieurs équations grâce à un emploi aisé des calculatrices et logiciels. Comme vous êtes avides d’en savoir davantage, posons sans plus attendre les bases de l’inversion de matrice avant de montrer comment une Casio Graph-85 et une TI-83 Premium CE peuvent nous apporter une aide incomparable (enfin si, comparable à de nombreux logiciels).

Définition

Soit M une matrice carrée d’ordre n et soit In la matrice identité d’ordre n.

M est inversible s’il existe une matrice M’ telle que M × M’ = In

M’ est appelée matrice inverse de M.

Propriétés et notation

M × M’ = M’ × M = In (commutativité).

M’ est unique.

Elle est noté M-1.

Équations

Un système de n équations à n inconnues peut s’écrire de la façon suivante :

système

Si cette matrice est la traduction d’un tableau, aij est la valeur se trouvant à l’intersection de la ièmeet de la jème colonne.

Soit M la matrice carrée des coefficients.

M

Soit X la matrice colonne des valeurs inconnues.

X

Soit B la matrice colonne des seconds membres des équations.

B

Si l’on se souvient de la technique de la multiplication de matrices, on peut résumer ainsi notre système : MX = B.

L’intérêt de l’inversion matricielle est alors d’isoler les inconnues : X = M-1B. Cette technique est appliquée en page exercice de synthèse (issu d'une épreuve du bac ES).

Complément (terminale S)

On détermine une matrice inverse à l’aide d’une calculatrice. Toutefois, il est possible d’inverser une matrice 2 × 2 sans aucune aide matérielle.

inversion de 2x2

Le dénominateur du réel qui multiplie la matrice est son déterminant. S’il est nul, la matrice n’est pas inversible.

Inversion avec calculatrice

1- Casio Graph 85

La page puissance d’une matrice explique comment saisir une matrice dans la Casio puis comment l’élever au carré. Reproduisez les mêmes opérations sauf qu’au lieu de terminer en appuyant sur la touche vous appuyez sur les touches SHIFT et x-1.

2- TI-83 Premium CE

C’est sur la page matrices avec une TI-83 que se trouve le mode d’emploi. Une fois que vous avez entré la matrice et que vous êtes sorti du menu d’édition, rappelez-la (avec la touche matrice) puis appuyez sur la touche inverse (2nde puis x-1).

Par exemple si votre matrice à inverser est :

matrice

Alors la fenêtre affiche…

matrice inversée

 

 

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