La somme de termes d'une suite géométrique

Suite géométrique : rappels et somme de termes

C’est en classe de première générale ou de terminale technologique que l’on découvre comment additionner rapidement les premiers termes d’une suite géométrique. Cette opération permet de mener à bien de nombreux problèmes concrets.

 

Rappel sur les suites géométriques

Si l’on multiplie chaque terme de la suite par le même réel pour déterminer le terme suivant, il s’agit d’une suite géométrique. Ce réel est la raison.

En pratique, la raison est positive, à de très rares exceptions près. Elle modélise un phénomène dont le taux d'évolution est toujours le même, par exemple dans le domaine financier. Ainsi une raison comprise entre 0 et 1 (exclus) traduit une diminution et une raison strictement supérieure à 1 indique une augmentation.

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme non nul \(u_0\) et de raison \(q.\)

À l’instar d’une suite arithmétique, on la définit soit par récurrence soit par son terme général.

Par récurrence : on donne le premier terme \(u_0\) ou \(u_1\) et la récurrence \(u_{n+1} = qu_n.\)

Terme général : \(u_n = u_0 × q^n.\)

Pour trouver un terme supérieur de plusieurs rangs à un terme connu, il faut élever la raison à une puissance. Soit \(n < p.\) Donc, si la suite est géométrique, \(u_n × q^{p-n} = u_p.\) Si par exemple on connaît \(u_3 = 5\), la raison \(q = 1,5\) et que l’on cherche \(u_6,\) il faut élever la raison au cube puisqu’il y a un écart de 3 entre 3 et 6. Donc \(u_6 = 5 × 1,5^3 = 16,875.\) Et pour trouver un terme antérieur, \(u_n = \frac{u_p}{q^{p-n}}.\)

Si vous avez perdu la raison, l'opération est un peu plus compliquée. Par exemple \(u_4 =0, 2\) et \(u_9 = 6,4.\) Donc \(0,2 × q^5 = 6,4\) et par conséquent \(q^5 = 32.\) Et ensuite ? Il faut élever 32 à la puissance \(\frac{1}{5}\) (votre calculatrice le fait très bien). Nous avons retrouvé la raison, \(q = 2.\)

 

Somme de termes

Contrairement à la formule de la somme de termes d’une suite arithmétique, ce n’est pas le dernier terme que nous avons besoin de connaître mais la raison.

Ci-dessous nous reprenons le symbole de la somme (si vous êtes en première générale, vous utilisez plutôt \(S_n\)).

En admettant que le premier terme est \(u_0,\) la somme des \(n\) premiers termes (donc jusqu’au terme n° \(n-1\)) est :

\[\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{u_i}}  = {u_0} \times \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\]

Plus généralement, la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique est :

\[\mathscr{1^{er}\; terme} \times \frac{1 – q^{\mathscr{nombre\; de\; termes}}}{1-q}\]

 

Exemple

En 2020, un organisme produit 200 tonnes de paperasse. Puis chaque année, sa production augmente de \(10\%\).

  1. Combien de tonnes de paperasse l’organisme produit-il en 2022 ?
  2. Combien de tonnes de paperasse produit-il de 2020 à 2030 ?

D’abord, on identifie une suite géométrique puisque l’augmentation est stable en pourcentage. La raison est le coefficient multiplicateur, soit \(1 + \frac{10}{100} = 1,1.\)

Nous connaissons la production de 2020 et nous cherchons celle qui existe deux ans plus tard. La raison doit donc être appliquée deux fois. On l’élève au carré (attention, on ne multiplie pas par 2, ce n’est pas une suite arithmétique !).

Nommons cette suite \((u_n)\) et situons \(u_0\) en 2020. Nous cherchons \(u_2.\)

\(u_2 = u_0 × q^2\)

Donc \(u_2 = 200 × 1,1^2 = 242.\)

Selon ce modèle, l’organisme produit 242 tonnes de paperasse en 2022.

La deuxième question consiste à chercher une production totale sur plusieurs années. Nous avons donc recours à la formule de la somme de termes vue ci-dessus.

Attention, l’énoncé suggère que les années 2020 et 2030 sont prises en compte. Soit onze années et non dix.

\(S_n = 200 × \frac{1 – 1,1^{11}}{1-1,1} ≈ 3706\)

En onze ans, l’organisme produit 3 706 tonnes de paperasse.

Illustration avec Excel. Les résultats de cet exemple ont été surlignés en jaune.

Excel

 

Python

Et pour terminer, deux petits algorithmes codés en Python pour calculer la somme de termes d’une suite géométrique.

Le premier s’appuie sur une boucle bornée.

boucle for

Le second utilise la formule.

formule

Dans les deux cas, si l’on teste le programme avec notre exemple, la console indique ceci :

console

 

construction