Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les séries à termes positifs

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Séries à termes positifs et théorèmes de comparaisons

Dans le vaste monde des mathématiques appliquées à l’économie se trouve un pays particulièrement étendu et il s’agit de celui des séries. Souvent, ces séries sont à termes positifs, c’est-à-dire qu’elles sont composées de sommes partielles de suites dont les éléments sont tous positifs ou nuls. Les suites de sommes partielles sont donc croissantes puisqu’on leur ajoute un élément positif chaque fois qu’elles sont incrémentées de 1.

Pourquoi une page spéciale sur ces séries ? Parce qu’on peut leur appliquer des tests de convergence bien pratiques (précisons que seules les séries convergentes sont vraiment intéressantes).

Par ailleurs, si les termes sont toujours négatifs, il est facile de retomber sur une série à termes positifs.

NB : une série peut n’être positive qu’à partir d’un certain rang.

Point fondamental : une série à termes positifs converge si la suite des sommes partielles est MAJORÉE.

Illustration simple. Ci-dessous, le tableau indique les premières valeurs prises par une loi de probabilité : la loi de Poisson de paramètre 2 pour = 0, 1, 2... Ainsi ces valeurs, positives et inférieures à 1 puisque ce sont des probabilités, sont-elles celles d'une suite. La dernière colonne est celle des probabilités cumulées, donc d'une série. À l'infini, elle converge évidemment vers 1.

loi de Poisson

Critère de comparaison : c’est le même type d’astuce qui est employé par les théorèmes sur les limites de fonctions et limites de suites. Si, pour un rang n, Sun est inférieur à Svn et que l’on sait pertinemment que Svn converge, alors il est bien évident que Sun converge aussi. Inversement, si l’on sait que Sun diverge, alors Svn diverge aussi.

Prenons l’exemple assez facile de la série suivante :

exemple

Comment savoir si elle converge ? En la comparant à une série de Riemann (Σ(1 / na), voir page séries). Les termes n étant des naturels, on sait que n(n + 1) est fort logiquement supérieur à . Donc, l’inverse, qui n’est autre que 1 / n(n + 1), est quant à lui inférieur à 1 / n². Or, on sait que la série de Riemann est convergente. Par conséquent, notre série (qui lui est inférieure pour un rang donné) converge elle aussi…

La comparaison logarithmique : c’est une « extension » du critère précédent. Cette fois, c’est un+1 / un qui est inférieur, pour tout n, à vn+1 / vn.  Mais on retrouve les mêmes cas de figure : si Svn converge, Sun en fait de même et si cette dernière diverge, alors Svn aussi.

La comparaison à une intégrale : comme on le constate, l’expression des séries se présente sous une forme Sf(n). Si la fonction f est positive, continue et décroissante, alors son intégrale et la série sont de même nature.

Opérations

Si la suite un / vn admet une limite finie différente de zéro, ça signifie que les séries Sun et Svn sont de même nature (soit convergentes, soit divergentes).

Par ailleurs, la nature d’une série ainsi que sa somme (si elle est finie) ne sont pas affectées si des termes sont permutés (commutativité) ou s’ils sont regroupés d’une façon ou d’une autre (associativité).

Applications

Une application simple se trouve en page modèle de Gordon-Shapiro.

Bibliographie (épuisée) : les Séries mathématiques, Gaston Casanova, Que sais-je? (n° 1567), 1981. Analyse II Mathématiques pour les sciences économiques, exercices corrigés, Lecoutre et Pilibossian, Dunod 1998.

 

tueur

 

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