Partie entière et partie fractionnaire
La partie entière d’un nombre réel n’est certainement pas la notion mathématique la plus difficile à comprendre ! C’est tellement vrai que vous pouvez sécher votre cours de yoga et lire cette page pour vous relaxer…
Propriété d’Archimède
L’ensemble des réels est archimédien : pour tout réel \(x,\) il existe un entier naturel \(n\) qui lui est strictement supérieur.
\(\forall x \in \mathbb{R}\; \exists n \in \mathbb{N}\; n > x\)
Cette propriété permet d’affirmer que tout réel est compris entre deux entiers relatifs consécutifs, \(p\) et \(p + 1.\)
Il existe donc un unique entier relatif \(p\) tel que \(p \leqslant x < p + 1.\)
Définition et notation
Cet entier \(p\) est appelé partie entière de \(x\) (sous-entendu : par défaut).
La partie entière de \(x\) est notée \(E(x).\) Cette notation tend cependant à disparaître au profit de \(\left\lfloor x \right\rfloor \)
Propriétés et exemples
Par exemple, la partie entière de la racine carrée de 2 est 1.
Attention, la partie entière de -6,5 est -7. Il ne faut pas la confondre avec la troncature à l’unité qui est -6.
On peut donc définir un entier comme étant un réel égal à sa partie entière…
Une propriété est \(n \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor nx \rfloor.\) Soit par exemple \(x = 3,5\) et \(n = 10.\) Alors \(n \lfloor x \rfloor = 30\) et \(\lfloor nx \rfloor = \lfloor 35 \rfloor = 35.\)
Second exemple, \(x = -1,25\) et \(n = 10.\) Alors \(\lfloor x \rfloor = -2\) et \(n \lfloor x \rfloor = -20.\) À comparer avec \(\lfloor nx \rfloor,\) soit \(\lfloor -12,5 \rfloor,\) donc -13. Conclusion, là encore\(\lfloor nx \rfloor \geqslant n \lfloor x \rfloor.\)
Autre propriété, pour \(x\) et \(y\) réels : \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor\) \(\leqslant\) \(\lfloor x + y \rfloor\) \(\leqslant\) \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1\)
Nous ne le démontrerons pas afin que vous ne regrettiez pas votre cours de yoga mais c’est assez intuitif.
Prenons un exemple numérique avec \(x = -2,1\) et \(y = 3,4.\) Donc \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor\) \(=\) \(-3 + 3\) \(=\) \(0.\) Par ailleurs, \(\lfloor -2,1 + 3,4\rfloor = \lfloor 1,3 \rfloor = 1.\) Nous vérifions l’inégalité puisque \(0 \leqslant 1 \leqslant 1.\)
Remarque : il existe aussi la notion de partie entière par excès. Elle est notée \(\left\lceil x \right\rceil \)
Représentation graphique
Ci-dessous, la représentation graphique de la fonction partie entière réalisée avec Geogebra (pour la reproduire, saisir f(x)=floor(x). Les points ont été ajoutés pour une meilleure compréhension).
Cette fonction est bien sûr croissante. Mais pas strictement : par exemple, \(\lfloor 2,1 \rfloor = \lfloor 2,99 \rfloor\)
Partie fractionnaire (ou décimale)
Maintenant que vous connaissez la partie entière, vous vous doutez certainement de ce que peut être la partie décimale, ou fractionnaire.
Mais précisons-le quand même, la partie fractionnaire de \(x\) est \(x - \lfloor x \rfloor.\)
Par exemple, si \(x = 5,12,\) elle s’établit à 0,12.
Et si \(x = -5,12\) ? \(\lfloor -5,12 \rfloor = -6\) donc \(-5,12 + 6 = 0,88.\) C’est moins évident.
Ainsi, on remarque que la somme de la partie décimale d’un réel et de celle de son opposé est égale à 1, sauf si le réel en question est un entier (auquel cas la somme est égale à zéro).
La représentation graphique de la fonction partie fractionnaire est la suivante :
Des fonctions faisant intervenir la partie entière sont illustrées en page de fonctions périodiques.
Avec calculatrices
Avec une TI-83, touche math, puis NBRE et choix 5 pour la partie entière (partEnt). Attention, le choix 4 (partDec) ne vous restitue pas la partie fractionnaire (ci-dessous, -0,2 au lieu de 0,8). Enfin, le choix 3 (ent) est celui de l’entier supérieur.
Quant à la Casio Graph 85, elle ne donne que la troncature, bien que le mode d’emploi parle de partie entière !
