La partie entière

Partie entière et partie fractionnaire

La partie entière d’un nombre réel n’est certainement pas la notion mathématique la plus difficile à comprendre ! C’est tellement vrai que vous pouvez sécher votre cours de yoga et lire cette page pour vous relaxer…

 

Propriété d’Archimède

L’ensemble des réels est archimédien : pour tout réel x, il existe un entier naturel n qui lui est strictement supérieur.

propriété d'Archimède

Cette propriété permet d’affirmer que tout réel est compris entre deux entiers relatifs consécutifs, p et p + 1.

Il existe donc un unique entier relatif p tel que p ≤ x < p + 1.

 

Définition et notation

Cet entier p est appelé partie entière de x (sous-entendu : par défaut).

La partie entière de x est notée E(x). Cette notation tend cependant à disparaître au profit de celle-ci :

partie entière par défaut

Comme ce site est rédigé sous forme de pages html, ce qui fait que bon nombre de symboles mathématiques sont délicats à intégrer au texte, nous en resterons à l’écriture vintage

 

Propriétés et exemples

Par exemple, la partie entière de la racine carrée de 2 est 1.

Attention, la partie entière de -6,5 est -7. Il ne faut pas la confondre avec la troncature à l’unité qui est -6.

On peut donc définir un entier comme étant un réel égal à sa partie entière…

Une propriété est nE(x) ≤ E(nx). Soit par exemple x = 3,5 et n = 10. Alors nE(x) = 30 et E(nx) = E(35) = 35.

Second exemple, x = -1,25 et n = 10. Alors E(x) = -2 et nE(x) = -20. À comparer avec E(nx), soit E(-12,5), donc -13. Conclusion, là encore E(nx) ≥ nE(x).

Autre propriété, pour x et y réels : E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1

Nous ne le démontrerons pas afin que vous ne regrettiez pas votre cours de yoga mais c’est assez intuitif.

Prenons un exemple numérique avec x = -2,1 et y = 3,4. Donc E(x) + E(y) = -3 + 3 = 0. Par ailleurs, E(-2,1 + 3,4) = E(1,3) = 1. Nous vérifions l’inégalité puisque 0 ≤ 1 ≤ 1.

Remarque : il existe aussi la notion de partie entière par excès. Elle est notée ainsi :

partie entière par excès

 

Représentation graphique

Ci-dessous, la représentation graphique de la fonction partie entière réalisée avec Geogebra (pour la reproduire, saisir f(x)=floor(x). Les points ont été ajoutés pour une meilleure compréhension).

partie entière

Cette fonction est bien sûr croissante. Mais pas strictement : par exemple, E(2,1) = E(2,99).

 

Partie fractionnaire (ou décimale)

Maintenant que vous connaissez la partie entière, vous vous doutez certainement de ce que peut être la partie décimale, ou fractionnaire.

Mais précisons-le quand même, la partie fractionnaire de x est x – E(x).

Par exemple, si x = 5,12, elle s’établit à 0,12.

Et si x = -5,12 ? E(-5,12) = -6 donc -5,12 + 6 = 0,88. C’est moins évident.

Ainsi, on remarque que la somme de la partie décimale d’un réel et de celle de son opposé est égale à 1, sauf si le réel en question est un entier (auquel cas la somme est égale à zéro).

La représentation graphique de la fonction partie fractionnaire est la suivante :

partie fractionnaire

Des fonctions faisant intervenir la partie entière sont illustrées en page fonctions périodiques.

 

Avec calculatrices

Avec une TI-83, touche math, puis NBRE et choix 5 pour la partie entière (partEnt). Attention, le choix 4 (partDec) ne vous restitue pas la partie fractionnaire (ci-dessous, -0,2 au lieu de 0,8). Enfin, le choix 3 (ent) est celui de l’entier supérieur.

TI

Quant à la Casio Graph 85, elle ne donne que la troncature, bien que le mode d’emploi parle de partie entière !

Casio

 

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