Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La loi de Poisson

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Généralités sur la loi de Poisson

Discrète mais bien connue, la loi de Poisson est une loi de probabilité qui s’applique aux événements rares : contrôles de qualité (y compris révision comptable, puisqu'on suppose que les erreurs sont rares), probabilités de défaut de crédit, accidents...

La distribution de Poisson est construite avec un seul paramètre, lambda (λ), qui est à la fois la moyenne et la variance (les démonstrations se trouvent en page paramètre de la loi de Poisson). On peut présenter cette distribution comme étant une approximation d’une loi binomiale lorsque l’effectif n tend vers l’infini (en pratique, plusieurs dizaines) et la probabilité d'occurrence p tend vers zéro (en pratique, < 0,1). Le produit np tend alors vers λ. Le kurtosis de cette loi est égal à 1 / λ.

La variable aléatoire X prend des valeurs positives entières k (par exemple des unités de temps 1, 2, 3…).

Loi de Poisson

Comme l'illustrent les exemples ci-dessous, cette loi est asymétrique mais le devient de moins en moins au fur et à mesure que λ augmente (Cf. graphiques ci-dessous réalisés sur Gretl).

Pour λ = 0,8 :

distribution de Poisson lambda = 0,8

Pour λ = 2 :

distribution de Poisson lambda = 2

Pour λ = 8 :

distribution de Poisson lambda = 8

Voir aussi la page traitant du théorème de la limite centrée. Les valeurs sont généralement tabulées jusqu’à λ = 18. Au-delà, on se simplifie la vie en utilisant la loi normale.

Précisons que la somme de plusieurs variables (v.a) de Poisson indépendantes est égale à une v.a de Poisson (et réciproquement, une v.a de Poisson peut être décomposée en plusieurs v.a indépendantes). Cette propriété est démontrée et illustrée en page additivité de la loi de Poisson.

Enfin, cette loi de probabilité est utilisée dans le cadre des processus de Poisson.

Exemple 1

2 % des dossiers de crédit arrivent au service contentieux un an après leur signature. Soit un lot de 100 dossiers. Quelle est la probabilité qu’aucun dossier ne devienne contentieux à un an (c’est-à-dire k, ou en l'occurrence x = 0) ?

On a p = 0,02, n = 100 et np = 2. Les conditions de convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson sont réunies. On avait d’ailleurs facilement deviné que λ était égal à 2…

Première façon de calculer, avec la formule :

exemple

Deuxième façon, avec la table dont voici un extrait :

Extrait table de Poisson

Troisième façon, un peu plus moderne, avec Excel. On entre dans une cellule =LOI.POISSON(0;2;FAUX). Le premier argument est x, le deuxième est λ et le troisième signifie qu’on ne souhaite pas de cumul.

Exemple 2

Une société constate en moyenne trois accidents du travail par an. L’effectif total est relativement élevé, aussi considère-t-on que le nombre d’accidents suit une loi de Poisson. Quelle est la probabilité que plus de quatre accidents surviennent dans l’année ?

On sait que λ = 3. On peut s’amuser à additionner les nombres relevés sur la table ci-dessus à partir de = 5. On trouve 0,1847.

Ce résultat est aussi obtenu en se fatiguant moins : si l’on utilise la fonction statistique d’Excel, on s’intéresse cette fois-ci à un cumul. LOI.POISSON(4;3;VRAI) donne 0,8153. Comme on cherche les valeurs au-delà de 4, notre probabilité est de 1 – 0,8153 = 0,1847.

D'autres exemples figurent en pages loi binomiale et absentéisme. Voir aussi la page gestion des stocks et loi de Poisson.

 

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