Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les coefficients d'aplatissement

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Kurtosis

Une série statistique ou une distribution probabiliste est habituellement résumée par un certain nombre d'indicateurs, plus ou moins nombreux en fonction du type d'étude réalisée.

L’ésotérique sabir des statistiques semble constituer un obsessionnel détournement des mots les plus banals. Artistes facétieux, les statisticiens se sont notamment emparés du mot « moment » pour lui affecter un sens tout particulier.

Un moment d’ordre r est l’espérance mathématique de variables aléatoires indépendantes à la puissance r (ou la moyenne de variables statistiques à la puissance r si l'on se situe dans une problématique DESCRIPTIVE). Si le moment est « centré », c’est l’espérance des ÉCARTS entre variable aléatoire et espérance à la puissance r.

Le moment centré d’ordre 4 permet de calculer le degré d’aplatissement d’une distribution à une variable. Afin d’obtenir un nombre sans dimension, on le divise par le carré de la variance. L’indicateur obtenu est appelé coefficient d’aplatissement de Pearson, ou kurtosis.

Pour résumer :

kurtosis

La kurtosis d’une loi normale (de Gauss) est égale à 3. Certains auteurs (surtout anglo-saxons) et logiciels retranchent 3 à la forme ci-dessus, ce qui conforte la loi normale dans son rôle de « loi étalon ». Le coefficient obtenu est dit « de Fisher » (ou excess kurtosis). Comme cette option me semble beaucoup plus pratique, c'est celle que je retiendrai par défaut.

Précisons que la kurtosis est définie pour la plupart des lois usuelles mais qu’on l’estime aussi pour des lois empiriques (VaR de crédit, par exemple).

Un coefficient de Fisher positif traduit une distribution leptokurtique (distribution qui s’élève assez haut puis retombe assez brutalement). Le mot n’est pas facile à placer dans une conversation mais vous pouvez toujours déclarer que les ventes du tube de l’été suivront une distribution leptokurtique. Voir la courbe rouge ci-dessous.

kurtosis

Une distribution normale est mésokurtique (en noir ci-dessus) et une distribution à « queues épaisses », dont le coefficient est négatif, habituelle dans l’étude des VaR, est platikurtique (en vert).

Attention tout de même à ne pas amalgamer cette notion avec la variance. Une distribution platikurtique n’a pas forcément une variance plus élevée qu’une leptokurtique.

Coefficients d’aplatissement des lois usuelles.

Loi binomiale :

kurtosis loi binomiale

Loi log-normale :

log-normale

Loi de Poisson :

kurtosis de Poisson

Loi du khi² à n degrés de liberté :

kurtosis khi²

Loi de Student à n degrés de liberté (n > 4) :

3+(6/(n-4))

Loi uniforme (discrète) sur [0,1] : 1,8 (non normalisé) ou -1,2 (si normalisé).

Loi exponentielle : 9 (non normalisé) ou 6 (normalisé).

Logiciels

La plupart des logiciels fournissent par défaut le coefficient de Fisher (SAS, SPSS…).

Certains « petits » logiciels préfèrent toutefois celui de Pearson (StatCalc).

Exemple : série de notes suivant à peu près une loi normale (exemple repris en page test du khi² d'adéquation).

exemple

Extrait des résultats de XLSTAT:

xlstat

La valeur -0,906 est celle qui est donnée par la fonction KURTOSIS d'Excel. On la retrouve aussi (en option) parmi les statistiques descriptives de SPSS :

SPSS

Statgraphics propose une formule beaucoup plus alambiquée sur les petits échantillons (précisons que cet indicateur est biaisé sur un échantillon, à l'instar de la variance). Au-delà d'une certaine taille, l'aplatissement STANDARDISÉ est égal à :

Statgraphics

En l'occurrence, il est donc égal = -1,013.

Webographie : http://mathworld.wolfram.com/Kurtosis.html

 

kurtosis

 

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