Présentation générale du processus de Poisson
Vous vous trouvez un soir d’été au bord de l’eau. Les moustiques vous agressent. Parfois, aucune piqûre pendant cinq minutes puis trois en moins de dix secondes. Victime de ces attaques-surprises imprévisibles, vous vous consolez en pensant que vous offrez un cadre d’étude idéal à un processus de Poisson.
Présentation
Un tel processus se présente comme la modélisation d’une situation où l’occurrence d’un évènement (variable de Bernoulli) survient de façon aléatoire dans le temps avec une probabilité faible. Par hypothèse, deux évènements (ou tops) ne peuvent survenir en même temps. Outre les piqûres de moustiques, un top peut représenter une arrivée dans une file d’attente, une panne, un accident, un appel téléphonique…
Graphiquement, on représente la survenance des tops par une trajectoire. Le temps, continu, figure en abscisse et le nombre de tops en ordonnée. La « courbe » représentative de la fonction aléatoire prend alors la forme d’un escalier à marches inégales dont seule la hauteur reste constante.
Il existe deux façons d’appréhender un processus poissonnien : par le processus de comptage et par l’étude des temps d’arrivée.
Le processus de comptage (ou de dénombrement)
Le nombre de tops qui surviennent au cours d’une durée comprise entre 0 et un instant \(t\) est aléatoire. La suite de tops cumulés habituellement notée \(N_t\) est appelée processus de comptage (ou fonction aléatoire de comptage). Il s’agit d’une famille de variables aléatoires. Concrètement, ce peut être le nombre d’usagers qui se présentent à un guichet au cours d'une heure.
Tout processus de comptage ne mérite pas le label « de Poisson ». Il doit pour cela être à accroissements stationnaires, c’est-à-dire que la loi de probabilité reste la même pour tous les intervalles de temps de même longueur, et à accroissements indépendants (tops non liés les uns aux autres). Il existe donc une indépendance au temps (ni tendance, ni heures de pointe…). Le nombre de tops qui surviennent au cours d’une durée doit enfin suivre une loi de Poisson. Par convention, \(N(0) = t_0 = 0.\) Ainsi, \(t\) représente un instant mais aussi une durée.
Rappelons l’expression de la loi de Poisson :
\(P(X = k) = \displaystyle{\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}}\)
Ici, la probabilité d’observer \(n\) tops durant \(t\) est \(\displaystyle{\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!}.}\)
Remarque importante : on voit que le processus de Poisson est indissociable de la loi du même nom. Par conséquent, un moyen de s’assurer qu’une situation peut être décrite par un processus poissonnien est de réaliser un test du khi² d’adéquation entre les valeurs observées et une loi de Poisson.
Étude des temps d’arrivée
Si l’on peut étudier la probabilité de tops au cours d’une période donnée, on peut aussi prendre le problème à l'envers et mesurer les durées qui séparent deux tops successifs : les espacements (v.a. continue). On étudie alors une suite de laps de temps et non plus un processus. Chaque espacement est indépendant des autres. Peu importe, donc, le début de la durée d’observation. C’est alors la loi exponentielle qui décrit la survenance d’un top.
Ainsi, si l’on dispose de durées observées et non d’arrivées, on teste l’adéquation du processus à une loi exponentielle. Le paramètre de cette loi est nommé taux du processus.
Voir l'étude des temps d'arrivée.
Prolongement
Mais la somme de v.a. exponentielles indépendantes n’est pas une v.a exponentielle. Du coup, si l’on étudie une durée entre plusieurs tops, donc une somme d’espacements, on se tourne vers une loi gamma (et plus précisément d’Erlang puisque le nombre de périodes est un entier naturel). En effet, cette loi-ci a l’avantage de vérifier la propriété d’additivité.
Processus superposés
La somme de deux processus poissonniens indépendants est elle aussi un processus de Poisson.
