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(et fondements mathématiques)

Deux exercices avec fonctions définies dans C

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Fonctions dans l'ensemble des complexes au bac S

Vous trouverez ici deux exercices ainsi que leurs corrigés détaillés. L’intérêt est de vous orienter sur les astuces auxquelles vous devez penser lorsque vous travaillez sur des fonctions définies sur tout ou partie de l’ensemble des complexes. Alors avant de scroller sur les corrigés, bon courage.

Exercice 1

Cet exercice est né aux Antilles le 11 septembre 2014 dans une épreuve du bac S. Un extrait vous est proposé ici. Aucune difficulté, juste des mécanismes à connaître.

On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe f(z) = z² + 2z + 9.

1. Calculer l’image de -1 + i3 par la fonction f.

2. Résoudre dans C l’équation f(z) = 5. Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

Exercice 2

Cette question est tirée de l’épreuve de novembre 2016, Nouvelle-Calédonie. L'exercice est traité dans son intégralité en page cercle dans le plan complexe mais comme il est assez long et que les pages ont des tailles à peu près calibrées sur ce site web, l’une des questions a été détaillée ici.

On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O, u, v). Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :

f(z) = z + (1/z)

On appelle M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z). Décrire (…) l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.

Corrigé détaillé 1

1. Cette question ne pose aucune difficulté.

équation posée

Identité remarquable

développement

= 5

2. On pose  + 2z + 9 = 5

Comme pour toute équation du second degré, on ramène le second membre à 0 :  + 2z + 4 = 0

Calcul du discriminant : Δ = 2² – 4 × 4 = -12

Δ est strictement négatif. L’équation admet deux racines complexes conjuguées.

2 racines

La racine carrée de 12 étant la même chose que deux fois celle de 3 :

2 sorti du radical

simplification

Rappel du passage de l’écriture algébrique à la forme exponentielle : soit un nombre complexe z = x + iy (x et y réels), alors le module est égal à :

module de z

En l’occurrence, la racine de (1 + 3) est bien sûr égale à 2. Donc |z| = 2.

Ensuite, il faut pour chacune des deux racines trouver un argument θ qui vérifie :

argument

Cherchons l’argument de z1.

argument de z1

Là, il faut se souvenir du cercle trigonométrique, éventuellement en s’aidant de la calculatrice.

theta 1 = 2/3 pi

Il est inutile de calculer un argument de z2 puisque nous savons que c’est l’opposé de celui de z1 (z2 est le conjugué de z1).

solutions

Corrigé détaillé 2

Pour que f(z) soit un réel, il faut que sa partie imaginaire soit nulle. Nous allons donc utiliser la forme algébrique de z.

forme algébrique de f

Procédure classique, on fait disparaître i du dénominateur en utilisant le conjugué x – iy.

x + iy +((x-iy)/(x²+y²))

même dénominateur

Au numérateur, il faut isoler les termes en i afin d’obtenir la forme algébrique.

isoler termes en i

étape suivante

étape suivante

Pour déterminer une partie imaginaire nulle, posons l’équation y( +  – 1) = 0.

À présent, on se fiche du premier terme (la factorisation, c’était juste pour s’amuser) ; il faut que le facteur qui multiplie i soit nul. Donc, pour déterminer une partie imaginaire nulle, nous posons l’équation y( +  – 1) = 0.

On a toujours plaisir à le rappeler, un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

Première possibilité, y = 0. Graphiquement, c’est l’axe des abscisses (sauf l’origine puisque comme le précise l’énoncé, et même s’il ne l’avait précisé vous l’auriez su, z ne doit pas être nul).

Seconde possibilité :  +  = 1. C’est l’équation d’un cercle de centre O et de rayon 1.

 

 

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