Exercices de trigonométrie (niveau première)
Vous tournez en rond sur le web à la recherche d’exercices de trigonométrie ? Faites comme la droite numérique qui s’enroule autour du cercle : arrêtez de tourner et positionnez-vous. En l’occurrence ici. En effet, sur cette page vous trouverez des exercices de trigonométrie du niveau d’une classe de première générale (début de chapitre) ou de premières STI2D et STL. Corrigés, bien sûr. Bande de veinards.
1- Exercices sur l’enroulement de la droite numérique
A- Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux réels \(\pi,\) \(\frac{7\pi}{4}\) et \(-\frac{2\pi}{3}.\)
B- Sur le cercle trigonométrique sont placés les points \(A\) et \(B\) associés respectivement aux réels \(\frac{7\pi}{3}\) et \(-\frac{23\pi}{4}.\)
Donner les nombres compris entre \(-\pi\) et \(\pi\) qui leur sont associés.
2- Exercices sur sinus et cosinus
A- Sans l’aide de la calculatrice, calculer l’expression \(\sin(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{13\pi}{6}).\)
B- Déterminer un réel \(\alpha\) tel que :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos (\alpha ) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\ {\sin (\alpha ) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.\)
Corrigé détaillé ex-1
A- Sachant qu’un tour complet équivaut à \(2\pi,\) il est facile de placer \(\pi.\) Ensuite, si l’on divise le demi-cercle par 4, il suffit pour placer le deuxième point de compter sept quarts dans le sens trigonométrique.
Le dernier point à placer correspond à une valeur négative. C’est donc dans le sens horaire qu’il faut avancer. Le cercle a été partagé en 6. Il est alors facile de situer les deux tiers d’un demi-cercle.
B- Pour déterminer l'abscisse curviligne de \(A\) il faut décomposer le quotient de façon à faire apparaître un multiple de \(2\pi.\)
Par exemple :
\(\frac{7}{3}\pi = \frac{6}{3}\pi + \frac{1}{3}\pi\) \(= 2\pi + \frac{\pi}{3}\)
On élimine \(2\pi\) (un tour complet du cercle) et c’est donc \(\frac{\pi}{3}\) qui est associé à \(A.\)
Pour déterminer le nombre associé à \(B,\) il faut trouver un nombre proche de 23 qui soit le multiple de 4. Or 24 se situe entre 23 (soit \(6 \times 4\)) et 16.
Soit on pose \(-\frac{23\pi}{4}\) \(= -\frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\)
Soit on pose \(-\frac{23\pi}{4}\) \(=-\frac{16\pi}{4} - \frac{7\pi}{4}\)
Dans les deux cas, on ne s’intéresse qu’au second terme puisque le premier correspond à un nombre de tours complets du cercle. Or, l’énoncé précise que le réel cherché doit se situer entre \(-\pi\) et \(\pi.\) La réponse est donc \(\frac{\pi}{3}.\) La seconde valeur aurait été la bonne réponse si nous avions cherché un réel compris entre \(-2\pi\) et 0.
Corrigé détaillé ex-2
A- Ne pas utiliser la calculatrice implique de connaître les valeurs remarquables. En l’occurrence, \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5\) (voir la page sur la trigonométrie).
Par ailleurs, \(\frac{13\pi}{6}\) \(= \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\) (si vous avez fait l’exercice précédent, vous l’avez deviné).
Donc \(\frac{13\pi}{6}\) \(= 2\pi + \frac{\pi}{6}.\)
Il s’ensuit que le sinus de \(\frac{13\pi}{6}\) n’est autre que le sinus de \(\frac{\pi}{6}.\) Donc une nouvelle fois 0,5.
Ainsi l’expression est égale à \(0,5 + 0,5 = 1\) (tout ça pour ça !).
B- Là encore, nous pouvons étaler notre science à condition de connaître les valeurs remarquables.
Nous savons que \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Or nous cherchons l’opposé. À partir du cercle trigonométrique, il est facile de déterminer les deux cosinus qui nous intéressent par symétrie. Soit \(\cos(\frac{3\pi}{4})\) et \(\cos(-\frac{3\pi}{4}).\)
Nous savons aussi que \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Si vous maîtrisez le cercle trigonométrique, vous savez que \(\sin(\frac{3\pi}{4})\) est aussi égal à cette valeur. Nous avons ainsi trouvé le nombre qui vérifie simultanément les deux équations : \(\alpha = \frac{3\pi}{4}.\)
De plus en plus fort
Vous êtes armé pour résoudre des équations trigonométriques et des inéquations trigonométriques. La page sur les angles associés vous montrera aussi comment utiliser votre calculatrice.
