Exercices de limites avec racines carrées
Vous êtes en terminale générale et vous cherchiez des exercices corrigés sur les limites de fonctions avec des racines carrées ? À votre grand soulagement, vous êtes arrivé à destination. Ces trois exercices sont réalisables tant en maths de spécialité qu’en maths complémentaires.
Exercice 1
Déterminer l’ensemble de définition puis les limites aux bornes de celui-ci de la fonction \(f\) définie comme suit :
\(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - 2x\)
Corrigé 1
\(f(x)\) existe si \(x^2 + 2x - 3 \geqslant 0.\)
Étudions le signe du trinôme. Le discriminant est égal à 16. Il est donc positif et le trinôme admet deux racines. En l’occurrence, -3 et 1. Le coefficient de \(x^2\) est 1, donc positif. Par conséquent, le trinôme est positif « en-dehors » des racines.
L’ensemble de définition est \(D_f = ]-∞\, ;-3] ∪ [1\, ;+∞[.\)
Les limites en -3 et en 1 ne posent aucune difficulté de calcul. Nous trouvons respectivement 6 et -2.
À l’infini, nous sommes en présence de formes indéterminées. Il nous faut donc modifier l’expression de \(f.\) Commençons par une procédure classique, la factorisation du trinôme par \(x^2.\)
\(f(x) = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}\right)} - 2x\)
Attention, lorsqu’on sort \(x^2\) du radical il ne faut pas oublier la valeur absolue.
\(f(x) = |x|\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} - 2x\)
Nous devons étudier deux cas, selon que \(x\) est positif ou négatif. D’abord, cherchons la limite en \(- ∞\) (donc \(x\) négatif, c’est-à-dire \(|x| = -x\)).
\(f(x) = -x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} - 2x\)
Factorisons par \(-x.\)
\(f(x) = -x \left(\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 2\right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{{x^2}}} = 1\)
Ainsi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{{x^2}}} + 2 = 3\)
De plus, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - x) = + \infty \)
Donc, par produit, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \)
Reste à savoir ce qui se passe en \(+ ∞.\)
\(f(x) = x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} - 2x\)
Factorisons par \(x.\)
\(f(x) = x\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} - 2\right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} - 2 = - 1\)
Donc, par produit, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \)
Exercice 2
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(g(x) = \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2}\)
Déterminer sa limite en \(± ∞.\)
Corrigé 2
Nous sommes en présence d’une forme indéterminée de type « \(∞ - \infty\) ».
Cette fois, nous ne pouvons pas factoriser l’expression pour en obtenir une autre. La technique sera celle des quantités conjuguées.
\(g(x) =\frac{( \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2})( \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2})}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2}}\)
D’où le développement de l’identité remarquable…
\(g(x) = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2}}\)
\(⇔ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2}}\)
La limite en \(- ∞\) et en \(+ ∞\) du dénominateur est \(+ ∞\) puisque c’est la somme de deux limites en \(+ ∞.\) Donc :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^2}} }} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^2}} }} = 0\)
Exercice 3
Calculer la limite en \(+ ∞\) de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par :
\(h(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x}}\)
Indications : il faut encadrer \(\sqrt{x^2 + x}\) et déterminer la limite de \(\frac{x}{x + 1}\)
Corrigé 3
Bien qu’il existe une autre façon de procéder, l’énoncé suggère d’utiliser le théorème des gendarmes.
\(x\) étant strictement positif, \(x^2 < x^2 + x < (x + 1)^2\)
La fonction racine carrée étant strictement croissante, nous pouvons ajouter que \(x < \sqrt{x^2 + x} < x + 1\)
La fonction inverse étant strictement décroissante, nous poursuivons en notant que \(\frac{1}{x + 1} < \frac{1}{\sqrt{x^2 + x}} < \frac{1}{x}\)
Et comme \(x > 0,\) nous avons :
\(\frac{x}{x + 1} < \frac{x}{\sqrt{x^2 + x}} < 1.\)
Quelle est la limite à \(+ ∞\) de \(\frac{x}{x + 1}\) ?
Nous avons ici une indétermination qu’il est facile de lever.
\(\frac{x}{x + 1}\) \(=\) \(\frac{x}{x(1 + \frac{1}{x})}\) \(=\) \(\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\)
Donc, selon le théorème d'encadrement, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h(x) = 1\)
