La distance entre deux réels

Introduction à la valeur absolue

Vous êtes en classe de seconde et vous êtes à présent familiarisé avec la notion de réel ? Parfait. Dans votre longue quête de connaissances, vous devez à présent maîtriser une autre notion : la valeur absolue.

 

La distance

A priori, l’affaire est simple. Pour obtenir la distance entre deux réels, il suffit de faire une soustraction. Par exemple, la distance entre -1 et 1 est \(1 - (-1) = 2.\) On pourrait aussi poser \((-1) - 1\) mais on obtiendrait (-2), c’est-à-dire une distance négative. Ce qui ne veut rien dire. Une distance est toujours positive : la distance entre la Terre et la Lune est la même que la distance entre la Lune et la Terre.

D’où une nouvelle notion…

La distance entre un nombre \(a\) et un nombre \(b\) se note \(d(a\, ;b)\) et se calcule \(|b-a|.\) Cet encadrement par deux barres verticales se lit « valeur absolue ». Si \(b-a > 0,\) rien ne change mais si \(b-a < 0,\) alors \(|b-a|\) est l’opposé de \(b-a.\) En d’autres termes, une valeur absolue est toujours positive. Par exemple, \(|1-6|=5.\) De même, l’équation \(|x+4|=-1\) n’a pas de solution.

Soit \(r\) un réel positif. Il est équivalent de poser \(|x-a| \le r\) et \(x \in [a-r\,;a+r]\)

On le visualise sur la droite numérique :

intervalle

On dit que \(a\) est le centre ou le milieu de l’intervalle, \(r\) est le rayon et \(2r\) est l’amplitude.

Exemple : si vous devez écrire \(|2x-1|\) sans valeur absolue, il faut envisager les deux possibilités. Soit \(2x-1\) et \(-2x+1.\)

 

Calculs avec valeur absolue

1- Équation avec une valeur absolue

\(|-2x+3|=1\)

On s’assure d’abord que la valeur absolue est égale à un nombre positif, ce qui est le cas ici (rappelons que sinon il n’y a pas de solution). Ensuite, il faut envisager deux cas. Soit \(-2x+3 = 1,\) soit \(-2x+3=-1\) (et le signe a été modifié par la valeur absolue).

1er cas :
\(-2x+3=1\)
\(\Leftrightarrow -2x=-2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)

2ème cas :
\(-2x+3=-1\)
\(\Leftrightarrow -2x=-4\)
\(\Leftrightarrow x=2\)

L’équation admet deux solutions. \(S = \{ {1;2} \}\)

2- Inéquation avec une valeur absolue

\(|x + 3| > 2.\)

Il faut imaginer (ou tracer sur la droite numérique) un intervalle centré sur \(x = -3\) avec de part et d’autre une « marge » de 2. On obtient donc un intervalle compris entre \(-3 - 2= -5\) et \(-3+2= -1.\) Comme \(|x+3|\) doit être SUPÉRIEUR à 2, l’ensemble des solutions est tout ce qui se trouve EN DEHORS de l’intervalle que l’on vient de déterminer.

intervalle

\(S = ]-\infty\,; -5[\; \cup \;]-1\,; +\infty[.\)

On peut aussi présenter le résultat ainsi : \(x < - 5\;{\rm{ou}}\;x > - 1\)

Et bien sûr, si l’inéquation avait été \(|x+3| \le 2,\) l’ensemble des solutions aurait été \([-5\,;-1]\)

3- Équation avec deux valeurs absolues

\(|x+1|= |x-5|\)

Ceci revient à chercher le nombre qui se trouve à égale distance de -1 et de 5. Si l’on fait la moyenne entre -1 et 5, on trouve \(\frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2.\)

\(S=\{2\}.\) On vérifie que \(|2+1|=3\) et \(|2-5|=3.\)

4- Inéquation avec deux valeurs absolues

\(|x-2|>|x-1|\)

Si, sur la droite numérique, on place un point \(A\) en 1 et un point \(B\) en 2, alors les solutions sont l’ensemble des points \(M\) tels que \(MB > MA\) (ils sont plus près de 1 que de 2). \(S = ]-\infty\, ; 0,5[.\)

 

Exercice 1

Poser les inéquations avec valeurs absolues dont les solutions sont les suivantes :

a) \(x \in ] - 3\,;5[\)
b) \(x \in ]-\infty \, ; 5] \cup [6\,; +\infty[\)

Réponse

a) L’intervalle ayant une amplitude de 5 – (-3) = 8, le milieu se trouve à une distance de 4 de chaque borne. C’est donc 1. \(x\) se trouve dans un intervalle borné donc la distance au milieu doit être INFÉRIEURE au rayon 4.

\(|x- 1|<4\)

b) Le milieu s’établit cette fois à 5,5 avec un intervalle de 0,5 de chaque côté. Mais c’est la zone située en-dehors de cet intervalle qui nous intéresse puisque \(x\) appartient à un intervalle infini. L’expression en valeur absolue est donc SUPÉRIEURE à 5,5. Donc \(|x-5,5|>0,5.\)

 

Exercice 2

Soit \(x\) le poids de Hereford le taureau (en kg). Combien pèse Hereford sachant que \(|x-1100| = |x-800|\) ?

taureau

Réponse : nous sommes en présence de deux soustractions donc \(x\) est au milieu du segment \([1100\,; 800].\) On calcule la moyenne \(\frac{{1100 + 800}}{2}\) et on obtient 950. Hereford pèse 950 kg.

 

ruban-mètre