Un calcul d'aire avec fonction logarithme

Problème d'aire avec fonction LN

L’exercice ci-dessous est extrait de l’épreuve du bac S de mai 2019 au Liban. Son but ? Calculer l'aire d'un triangle qui dépend d'une courbe. Mais aucun recours à un calcul d’intégrale ! En terminale, il peut donc servir d’entraînement pour clore l’étude de la fonction logarithme, éventuellement en maths complémentaires et plus sûrement en spécialité. Sur un thème voisin, voir aussi la fonction logarithme avec algorithme (exercice de bac S).

 

Énoncé

    Le plan est muni d’un repère orthogonal \(O\,,I\,,J).\)
    1- On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\, ;1]\) par

\[f(x) = x(1 - \ln x)^2\]

    a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de \(f\) et vérifier que pour tout \(x ∈ ]0\, ;1],\) \(f’(x)\) \(=\) \((\ln x + 1)(\ln x - 1).\)
    b. Étudier les variations de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variations sur l’intervalle \(]0\, ;1]\) (on admettra que la limite de la fonction \(f\) en 0 est nulle).
    On note \(\Gamma\) la courbe représentative de la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0\, ;1]\) par \(g(x) = \ln x.\) Soit \(a\) un réel de l’intervalle \(]0\, ;1].\) On note \(M_a\) le point de la courbe \(Γ\) d’abscisse \(a\) et \(d_a\) la tangente à la courbe \(Γ\) au point \(M_a.\) Cette droite \(d_a\) coupe l’axe des abscisses au point \(N_a\) et l’axe des ordonnées au point \(P_a.\)
    On s’intéresse à l’aire du triangle \(ON_aP_a\) quand le réel \(a\) varie dans l’intervalle \(]0\, ;1].\)
    2- Dans cette question, on étudie le cas particulier où \(a = 0,2\) et on donne la figure ci-dessous.

courbe et tangente

    a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle \(ON_{0,2}P_{0 ;2}\) en unités d’aire.

    b. Déterminer une équation de la tangente \(d_{0,2}.\)

    c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle \(ON_{0,2}P_{0 ;2}.\)
    Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel \(a\) de l’intervalle \(]0\, ;1] ;\) l’aire du triangle \(ON_aP_a\) en unités d’aire est donné par \(\mathscr{A}(a) = \frac{1}{2} a(1 - \ln 2)^2.\)
    3- À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de \(a\) l’aire \(\mathscr{A}(a)\) est maximale. Déterminer cette aire maximale.

élève

 

Corrigé commenté

1-a. Voici une dérivée de fonction produit de toute beauté.

Le premier facteur et sa dérivée sont vite identifiés : \(u(x) = x\) et \(u’(x) = 1.\) Le second est un peu plus problématique. Soit \(v(x) = (1 - \ln x)^2\) donc une forme \(w^2\) dont la dérivée est \(w’=2w’w.\) Par conséquent, \(v’(x)= 2 × -\frac{1}{x} (1 - \ln x).\)

\(f’(x)\) \(=\) \((1 - \ln x)^2 - \frac{2}{x}(1 - \ln x) × x\)
\(⇔ f’(x)\) \(=\) \(1 - \ln x)(1 - \ln x - 2)\)
\(\Leftrightarrow f’(x) = (1 - \ln x)(- \ln x - 1)\)
\(\Leftrightarrow f’(x) = (\ln x - 1)(\ln x + 1)\)

b. Sur \(]0\, ;1]\) chacun sait que \(\ln x < 0\) et donc le premier facteur est négatif.

Étudions alors le signe du second facteur.

\(\ln x + 1 > 0\)
\(⇔ \ln x > -1\)

La fonction exponentielle étant croissante, nous pouvons écrire que \(x > e{-1}\)

D’où le tableau suivant :

tableau de variations

2-a. Sur le graphe, le repère est quadrillé avec un pas de 0,1 en abscisse et de 0,5 en ordonnée. Donc un carreau vaut 0,05. Il y en a approximativement treize dans le triangle. Donc \(13 × 0,05 = 0,65\) unités d’aire environ.

b. \(g’(x) = \frac{1}{x}\) pour tout \(x ∈ ]0\, ;1].\) Donc \(g’(0,2) = 5.\)
\(d_{0,2} : y = g(0,2) + g’(0,2)(x - 0,2)\)
\(⇔ y = \ln 0,2 + 5(x - 0,2)\)
\(⇔ y = 5x + \ln 0,2 - 1\) (ou, ce qui revient au même, \( y = 5x - \ln 5 - 1\))

c. L’ordonnée de \(P_{0,2}\) est donc \(-\ln 5 - 1.\) Par conséquent, \([O\ ;P_{0,2}] = 1 + \ln 5.\)

L’abscisse de \(N_{0,2}\) est moins immédiate.

Posons \(5x - \ln 5 - 1 = 0\))

Donc \(x = \frac{\ln 5 + 1}{5}.\) Ce nombre est aussi la longueur de \([O\, ;N_{0,2}].\)

L’aire du triangle rectangle vaut donc :

\[\mathscr{A}(0,2) = \frac{(1 + \ln 5) \times \frac{1}{5}(1 + \ln 5)}{2} = \frac{(1 + \ln 5)^2}{10}\]

3- Nous savons que \(\mathscr{A}(a) = \frac{1}{2}a(1 - \ln a)^2.\) D’ailleurs, cet élément fourni par l’énoncé conforte heureusement le résultat trouvé à la question précédente.

Alors que nous désespérions de trouver un lien avec la question 1, voici que tout s’éclaire.

En effet, \(\mathscr{A}(a) = \frac{1}{2}f(a).\) Il s’ensuit que notre aire est maximale là où \(f\) est maximale sur \(]0\, ;1]\) c’est-à-dire pour \(e^{-1}.\)

\(\mathscr{A}(e^{-1}) = \frac{1}{2} × \frac{1}{e} × (1 + 1)^2 = \frac{2}{e}\)

 

aire maximale