Matrices et systèmes linéaires
Les matrices sont un objet mathématique extraordinaire. Peut-être les avez-vous découvertes il y a peu de temps et vous vous interrogez sur leur utilité. Eh bien par exemple elles permettent la résolution de systèmes d’équations. Pour illustrer de façon simple la résolution matricielle d’un système linéaire, nous vous présentons une application plutôt originale, issue d’une épreuve du bac : la détermination des coefficients d’une fonction polynomiale du troisième degré.
Le principe
Soit un système de \(n\) équations à \(n\) inconnues.
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{1,1}}{x_1} + {a_{1,2}}{x_2} + ... + {a_{1,n}}{x_n} = {y_1}}\\
\begin{array}{l}
{a_{2,1}}{x_1} + {a_{2,2}}{x_2} + ... + {a_{2,n}}{x_n} = {y_2}\\
...
\end{array}\\
{{a_{n,1}}{x_1} + {a_{n,2}}{x_2} + ... + {a_{n,n}}{x_n} = {y_n}}
\end{array}} \right.\]
Soit \(A\) la matrice des coefficients \(a_{i,i},\) \(X\) la matrice colonne des \(x_i\) et \(Y\) la matrice colonne des \(y_i.\)
Le système devient \(A \times X = Y.\)
Les inconnues étant les coefficients de \(X,\) il convient d’isoler celle-ci. Si \(A\) est inversible, on pose \(X = A^{-1} \times Y.\)
Si le système a plus de deux équations, cette technique est moins laborieuse que la substitution ou la combinaison. Elle permet d’arriver directement au résultat. Elle est pratique au lycée dans la mesure où le calcul matriciel avec calculatrice est autorisé (pas de détail de calculs à fournir).
Exercice
Cet exercice est extrait de l’épreuve du bac ES (spécialité maths) Antilles et Guyane, septembre 2018.
- Un laboratoire en botanique étudie l’évolution d’une espèce végétale en fonction du temps. Cette espèce compte initialement 2 centaines d’individus.
- Au bout de 2 semaines, l’espèce végétale compte 18 centaines d’individus.
- Au bout de 3 semaines, l’espèce végétale prolifère et s’élève à 30,5 centaines d’individus.
- Au bout de 10 semaines, on en compte 90 centaines.
- On modélise cette évolution par une fonction polynomiale \(f\) donnant le nombre d’individus de l’espèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écoulé \(x,\) exprimé en semaine.
- Ainsi \(f(2) = 18,\) \(f(3) = 30,5\) et \(f(10) = 90.\)
- On admet que \(f(x)\) peut s’écrire \(f(x)\) \(=\) \(ax^3\) \(+\) \(bx^2\) \(+\) \(cx\) \(+\) \(d\) où \(a,\) \(b,\) \(c\) et \(d\) sont des réels.
- Justifier que \(d = 2\)
- Montrer que \(a,\) \(b\) et \(c\) sont solutions du système : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
- Déterminer les matrices \(A,\) \(X\) et \(B\) qui permettent d’écrire le système précédent sous la forme \(AX = B.\)
- Résoudre le système.
- En supposant que l’évolution suit, sur l’intervalle \([0\,; 13],\) le modèle décrit par la fonction \(f,\) déterminer au bout de combien de temps la quantité de l’espèce étudiée sera maximale (arrondir à la semaine près).
{8a + 4b + 2c = 16}\\
{27a + 9b + 3c = 28,5}\\
{1\,000a + 100b + 10c = 88}
\end{array}} \right.\]
Corrigé commenté
1- Il est facile de justifier que \(d = 2\). Étant donné qu'il existe 2 centaines d’individus en semaine 0, nous avons \(f(0) = 2.\) Et comme \(f(0) = d,\) alors \(d = 2.\)
2- \(f(2) = 18\) donc \(8a + 4b + 2c + 2\) \(=\) \(18\)
D’où \(8a + 4b + 2c = 16\)
\(f(3) = 30,5\) donc \(27a + 9b + 3c + 2\) \(=\) \(30,5\)
D’où \(27a + 9b + 3c = 28,5\)
\(f(10) = 90\) donc \(1\,000a + 100b + 10c + 2 = 90\)z
D’où \(1\,000a + 100b + 10c = 88\)
\(a, b\) et \(c\) sont bien solutions du système.
3- Comme nous l’avons vu plus haut, \(A\) est la matrice des coefficients.
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
8&4&2\\
{27}&9&3\\
{1000}&{100}&{10}
\end{array}} \right),\) \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b\\
c
\end{array}} \right)\) et \(Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{16}\\
{28,5}\\
{88}
\end{array}} \right)\)
4- \(AX = B \Leftrightarrow X = A^{-1}B\)
L’opération se réalise à la calculatrice (le cas échéant, voir les modes d’emploi sur ce site des TI, Casio ou NumWorks).
Nous trouvons \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 0,2}\\
{2,5}\\
{3,8}
\end{array}} \right)\)
Donc \(a = -0,2,\) \(b = 2,5\) et \(c = 3,8\)
\(f(x) = -0,2x^3 + 2,5x^2 + 3,8x + 2\)
5- La dernière question n’a plus rien à voir avec les matrices. La détermination du maximum de \(f\) passe par l’étude du signe de sa dérivée \(f’.\)
\(f’(x) = -0,6x^2 + 5x +3,8\) (dérivée d’une fonction du troisième degré).
L'étude du signe de \(f’(x)\) s’obtient à partir des racines de \(f(x).\)
\(-0,6 x^2 + 5x + 3,8 = 0\)
Le discriminant \(\Delta = 25 + 4 \times 0,6 \times 3,8\) est égal à 34,12. Il est strictement positif. L’équation \(f’(x) = 0\) admet deux solutions dans \(\mathbb{R}.\)
\(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{34,12}}{-1,2}\) soit environ -0,7, solution non retenue dans le cadre du problème puisqu’on cherche un nombre positif (un nombre de semaines).
\(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{34,12}}{-1,2}\) soit environ 9.
Comme ce n’est pas le sujet de cette page, nous nous dispenserons de dresser le tableau de variation. Les candidats devaient arriver à la conclusion que le nombre maximal de plantes sera atteint après neuf semaines.
