Exemples de substitution et de combinaison
Les systèmes d’équations sont très utilisés en mathématiques, dans les problématiques les plus diverses. Les systèmes de deux équations à deux inconnues sont enseignés en classe de seconde mais, comme ils l’étaient jadis en troisième, cette page reprend un extrait d’une épreuve du brevet. Elle se termine par un système de trois équations à trois inconnues (qui ne figure pas au programme de seconde, rassurez-vous).
Exercice corrigé
D’après l’épreuve du brevet des collèges, Pondichéry, mai 2008
Une entreprise artisanale fabrique deux types d’objets en bois, notés \(A\) et \(B.\) Un objet de type \(A\) nécessite 3 kg de bois et un objet de type \(B\) nécessite 5 kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé 163 kg de bois pour fabriquer 43 objets.
Déterminer le nombre d’objets réalisés pour chaque type.
La principale difficulté consiste à mettre le problème en équations (dans le sujet de l’épreuve, le système était donné).
Appelons \(a\) le nombre d’objets \(A\) à réaliser et \(b\) le nombre d’objets \(B.\)
- Une première équation modélise la production journalière en nombre d’objets : \(a + b = 43.\)
- La seconde équation modélise la consommation journalière de bois : \(3a + 5b = 163.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b = 45}\\
{3a + 5b = 163}
\end{array}} \right.\)
Résolvons ce magnifique système par la technique de substitution.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 45 - b}\\
{3(45 - b) + 5b = 163}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 45 - b}\\
{135 - 3b + 5b = 163}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 45 - b}\\
{135 - 3b + 5b = 163}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 45 - b}\\
{2b = 28}
\end{array}} \right.\)
En résolvant la seconde équation, nous trouvons \(b = 14\) puis en remplaçant \(b\) par 14 dans la première équation nous en déduisons que \(a = 31.\)
L’entreprise réalise 31 objets \(A\) et 14 objets \(B.\)
Exercice (plus difficile)
Exemple : un capital de 1 000 euros est à répartir entre deux investissements. Si l’on en place un à \(5\%\) d'intérêt annuel et l'autre à \(4\%,\) on doit obtienir au bout d’un an le même résultat qu’en plaçant le tout à \(4,6 %.\) Comment partager le capital ?
Réponse :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y = 1000}\\
{1,05x + 1,04y = 1,046(x + y)}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y = 1000}\\
{0,004x - 0,006y = 0}
\end{array}} \right.\)
L'intérêt de l'exercice étant de modéliser le problème, nous ne présenterons pas le détail des calculs. La solution est une répartition 400 € – 600 €.
Technique mixte
La résolution d’un système de trois équations à trois inconnues n’est pas au programme de seconde. Cet exercice montre surtout la difficulté à résoudre un tel système avec les techniques de substitution et de combinaison.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + y + 4z = 16}\\
{4x - 2y + 3z = 9}\\
{8x + 3y + 2z = 20}
\end{array}} \right.\)
Commençons par une substitution de \(y.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = - 2x - 4z + 16}\\
{4x - 2( - 2x - 4z + 16) + 3z = 9}\\
{8x + 3( - 2x - 4z + 16)+2z = 20}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = - 2x - 4z + 16}\\
{8x + 8z - 32 + 3z = 9}\\
{8x - 6x - 12z + 48 + 2z = 20}
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = - 2x - 4z + 16}\\
{8x + 11z = 41}\\
{2x - 10z = - 28}
\end{array}} \right.\)
Utilisons à présent la multiplication membre à membre pour faire apparaître \(8x\) dans la dernière équation.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = - 2x - 4z + 16}\\
{8x + 11z = 41}\\
{8x - 40z = - 112}
\end{array}} \right.\)
Soustrayons la troisième équation à la deuxième.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = - 2x - 4z + 16}\\
{8x + 11z = 41}\\
{51z = 153}
\end{array}} \right.\)
Par conséquent, \(z = 3.\) À partir de là, les évènements se précipitent. On remplace \(z\) par 3 dans la deuxième équation pour détecter qui se cache derrière \(x.\) Il s’agit de 1. Puis on remplace \(x\) et \(z\) dans la première équation afin que \(y\) révèle sa véritable identité : 2.
\(x = 1,\) \(y = 2\) et \(z = 3.\)
Note : les calculatrices employées au lycée résolvent parfaitement les systèmes. Il peut être intéressant de vérifier ainsi vos calculs manuels...
Voir aussi les exemples complémentaires de systèmes d'équations.
