Deux exercices sur les suites géométriques

Suites géométriques au bac ES

Cette page est plus particulièrement destinée aux élèves de terminale ES qui se préparent à une grande joie de l'existence : celle de passer le bac.

 

Extrait de l'épreuve de maths du bac ES Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de \(2,5\%.\) On note \(C_n\) le capital du client au 1er janvier de l’année \(2000 + n,\) où \(n\) est un entier naturel.

1- Calculer \(C_1\) et \(C_2.\) Arrondir les résultats au centime d’euro.

2- Exprimer \(C_{n+1}\) en fonction de \(C_n.\) En déduire que, pour tout nombre entier naturel \(n,\) on a la relation \(C_n = 3000 \times 1,025^n.\)

3- On donne l’algorithme suivant :

programme

a- Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

à compléter

b- En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300.

c- Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000.

4- Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 €. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.

5- Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

 

Corrigé détaillé

1- Le calcul de \(C_1\) et de \(C_2\) fait appel aux pourcentages d’évolution, chapitre vu en classe de seconde (et jadis en première ES). Calculons \(C_1\) à partir de \(C_0\) puis \(C_2\) à partir de \(C_1.\)

\(C_1 = 3000 × [1 + \frac{2,5}{100}]\) \(= 3075,00\,€\)

\(C_2 = 3075 × [1 + \frac{2,5}{100}]\) \(= 3151,88\,€\)

2- Pour exprimer \(C_{n+1}\) en fonction de \(C_n,\) il suffit de faire intervenir le coefficient multiplicateur. Soit \(C_{n+1} = C_n × 1,025.\) On peut donc définir une suite \((C_n)\) comme étant géométrique de premier terme \(C_0 = 3000\) et de raison \(q = 1,025.\) Par définition : \(C_n = 3000 × 1,025^n.\)

3- Les algorithmes sont souvent la bête noire des lycéens, insuffisamment préparés à ce type d’exercice. Pourtant, il n’y a rien de très compliqué là-dedans : il est évident que n compte les années après 2000 et que U est un montant de capital en euros.

a- Si l’on entre 3 300, l’algorithme tournera jusqu’à ce que U soit supérieur à ce montant...

tableau corrigé

b- La boucle s’arrête lorsque n = 4. L’affichage obtenu est donc 2004.

Note : ces deux questions sont reprises en page de programmation de boucles while avec Python.

c- On entre une somme S (supérieure à 3 000). Dans les conditions énoncées dans l’exercice (capital initial de 3 000 € placé le 1er janvier 2000 à intérêts composés de 2,5 %), le programme nous permet de savoir au début de quelle année nous disposerons de cette somme S.

4- Au 1er janvier 2013, la somme dont disposera le client sera donnée par \(C_{13}.\)

\(C_13\) \(= 3000 × 1,02513\) \(= 4135,53\,€.\) Cette somme est inférieure au besoin de 5 000 €.

5- Il faut résoudre l’inéquation \(1,025^n \geqslant 10\) avec \(n\) appartenant à l’ensemble des entiers naturels. Lorsque l’inconnue apparaît sous forme de puissance, il convient d’utiliser les propriétés des logarithmes. Comme la fonction logarithme est strictement croissante, le sens de l’inéquation ne change pas.

\(\ln1,025^n \geqslant \ln 10\)
\(⇔ n\ln1,025 \geqslant \ln 10\)
\(⇔ n \geqslant \frac{\ln10}{\ln1,025}\)

La calculatrice nous permet de clarifier les choses : \(n \geqslant 93,25.\) Donc \(n = 94.\) Le capital sera multiplié par 10 ou plus à la date du 1er janvier 2094. Comme quoi le temps c'est de l'argent...

 

Entraînement supplémentaire

(À partir de l’épreuve de maths du bac ES Polynésie 2013)

Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite \((u_n).\) On note \(u_0\) le montant en 2011, en milliers d'euros, et \(u_n\) le montant en \(2011 + n,\) en milliers d'euros. On a \(u_0 = 63182\) et on suppose que la valeur baisse tous les ans de \(8\%.\)

Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.

 

Corrigé

\(u_{n+1} = \left(1-\frac{8}{100} \right) u_n = 0,92u_n.\)

La suite \((u_n)\) est géométrique de raison 0,92.

Le montant cumulé sur dix années (et non neuf !) est obtenu par la formule de la somme des premiers termes d’une suite géométrique.

\( S = 63\,182 \times \frac{1-0,92^{10}}{1-0,92}\) \( \approx 446\,706\)

De 2011 à 2020 inclus, le cumul des produits perliers exportés devrait s'établir à 446 706 milliers d’euros.

Remarque : un autre sujet de bac ES sur les suites figure en page exemple de suite arithmético-géométrique.

 

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