Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Quelques exercices sur les suites géométriques

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suites géométriques au bac ES

Cette page est plus particulièrement destinée aux élèves de terminale ES qui se préparent à une grande joie de l'existence : celle de passer le bac.

Extrait de l'épreuve de maths du bac ES Pondichéry 2013 (noté 5 points sur 20)

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note Cn le capital du client au 1er janvier de l’année 2000 + n, où n est un entier naturel.

1- Calculer C1 et C2. Arrondir les résultats au centime d’euro.

2- Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation Cn = 3 000 × 1,025ⁿ.

3- On donne l’algorithme suivant :

programme

a- Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

à compléter

b- En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300.

c- Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000.

4- Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 €. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.

5- Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

Corrigé détaillé

1- Le calcul de C1 et de C2 fait appel aux pourcentages d’évolution, chapitre vu en classes de seconde et de première. Calculons C1 à partir de C0 puis C2 à partir de C1.

C1 = 3 000 × [1 + (2,5 / 100)] = 3 075,00 €

C2 = 3 075 × [1 + (2,5 / 100)] = 3 151,88 €

2- Pour exprimer Cn+1 en fonction de Cn, il suffit de faire intervenir le coefficient multiplicateur. Soit Cn+1 = Cn × 1,025. On peut donc définir une suite (Cn) comme étant géométrique de premier terme C0 = 3 000 et de raison q = 1,025. Par définition :Cn = 3 000 × 1,025.

3- Les algorithmes sont souvent la bête noire des lycéens, insuffisamment préparés à ce type d’exercice. Pourtant, il n’y a rien de très compliqué là-dedans : il est évident que n compte les années après 2000 et que U est un montant de capital en euros.

a- Si l’on entre 3 300, l’algorithme tournera jusqu’à ce que U soit supérieur à ce montant...

tableau corrigé

b- La boucle s’arrête lorsque n = 4. L’affichage obtenu est donc 2004.

c- On entre une somme S (supérieure à 3 000). Dans les conditions énoncées dans l’exercice (capital initial de 3 000 € placé le 1er janvier 2000 à intérêts composés de 2,5 %), le programme nous permet de savoir au début de quelle année nous disposerons de cette somme S.

4- Au 1er janvier 2013, la somme dont disposera le client sera donnée par C13.

C13 = 3 000 × 1,02513 = 4 135,53 €. Cette somme est inférieure au besoin de 5 000 €.

5- Il faut résoudre l’inéquation 1,025 > 10 avec n appartenant à l’ensemble des entiers naturels. Lorsque l’inconnue apparaît sous forme de puissance, il convient d’utiliser les propriétés des logarithmes. Comme la fonction logarithme est strictement croissante, le sens de l’inéquation ne change pas.

ln 1,025n ≥ ln 10
 n ln 1,025 ≥ ln 10
⇔ n ≥ (ln 10 / ln 1,025)

La calculatrice nous permet de clarifier les choses : n ≥ 93,25. Donc n = 94. Le capital sera multiplié par 10 ou plus à la date du 1er janvier 2094. Comme quoi le temps c'est de l'argent...

Entraînement supplémentaire (à partir de l’épreuve de maths du bac ES Polynésie 2013)

Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite (Un). On note U0 le montant en 2011, en milliers d'euros, et Un le montant en 2011 + n, en milliers d'euros. On a U0 = 63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

Montrer que (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.

Corrigé

suite géométrique

La suite est géométrique de raison 0,92.

Le montant cumulé sur dix années (et non neuf !) est obtenu par la formule de la somme des premiers termes d’une suite géométrique.

résultat

De 2011 à 2020 inclus, le cumul des produits perliers exportés devrait s'établir à 446 706 milliers d’euros.

NB : un autre sujet de bac ES sur les suites figure en page exemple de suite arithmético-géométrique.

 

bac ES

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés