Des exercices avec suites géométriques

Suites géométriques : exercices et programme

Le cadeau du jour : des exercices d’application sur les suites géométriques. Le niveau de difficulté est celui de la première générale et des terminales technologiques. Vous trouverez aussi une proposition d’algorithme en langage Python : le calcul de la somme des premiers carrés, qui est un exemple de « situation algorithmique » (pour reprendre l’impayable jargon de l’Éducation nationale) proposé dans le programme de terminale, voie technologique.

Lorsque vous maîtriserez les exercices, vous pourrez vous attaquer aux problèmes. Par exemple, le problème avec suite géométrique (extrait de l’ancien bac ES).

Exercices d’application

Pour tous les exercices ci-dessous, \(n ∈ \mathbb{N}.\)

1- Soit quatre termes de la suite \((u_n).\)

\(u_0 = 3,\) \(u_1 = 7,5,\) \(u_2 = 18,75\) et \(u_3 = 46,875.\)

\((u_n)\) peut-elle être géométrique ?

2- Soit la suite géométrique \((v_n).\) Nous savons que \(v_4 = 10\) et \(v_6 = 19,6.\) Déterminer la raison positive \(q.\)

Ensuite, déterminer \(v_5\) et les termes de \(v_1\) à \(v_3\) et tracer la représentation graphique de \((v_n).\)

3- Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) \(u_{n+1} = 1,2 u_n.\)

• Calculer \(u_1\) et \(u_2.\)
• Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
• Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n.\)
• Soit \(S_n = u_0 + u_1 + … + u_n.\) Calculer \(S_8.\)

Algorithme

Rob souhaite avoir un programme en langage Python qui lui donne la somme des \(n\) premiers carrés. S'il veut par exemple connaître la somme des dix premiers carrés, il entre 10 et le programme lui répond 385 (soit \(1^2 + 2^2 + … + 10^2\)).

Le programme devra s’appuyer sur une boucle. Certes, il existe une formule de calcul des \(n\) premiers carrés et il serait simple de la programmer mais… ce ne serait pas très pédagogique.

Corrigés des exercices

1- \(\displaystyle{\frac{u_1}{u_0} = \frac{7,5}{3} = 2,5}\)
\(\displaystyle{\frac{u_2}{u_1} = \frac{18,75}{7,5} = 2,5}\)
\(\displaystyle{\frac{u_3}{u_2} = \frac{46,875}{18,75} = 2,5}\)

Les rapports sont les mêmes, donc \((u_n)\) peut être géométrique. Attention, cela ne signifie pas qu’elle l’est. Pour montrer qu’une suite est géométrique, on utilise le rapport \(\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}}\) mais pas des rapports de valeurs particulières.

2- Pour passer de \(v_4\) à \(v_6\) on applique deux fois la raison. Donc \(v_4 × q^2 = v_6.\)

\(10 × q^2 = 19,6\)
\(⇔ q^2= 1,96\)

Nous savons que \(q \geqslant 0\) donc \(q = \sqrt{1,96} = 1,4\)

\(v_5 = 10 × 1,4 = 14\)

Notez que dans les filières technologiques on utilise la notion de moyenne géométrique. Ainsi, \(\sqrt{10 × 19,6} = 14\)

On peut remonter jusqu'à \(v_1\) à partir de \(v_4\) :

\(\displaystyle{ v_3 = \frac{10}{1,4} = \frac{50}{7}}\) soit 7,14 environ.
\(\displaystyle{v_2 = \frac{\frac{50}{7}}{1,4} = \frac{250}{49}}\) soit 5,1 environ.
\(\displaystyle{v_1 = \frac{\frac{250}{49}}{1,4} = \frac{1270}{343}}\) soit 3,7 environ.

Représentation graphique avec une TI-83 Premium CE. En mode SUITE, définissez \(v_n\) ainsi :

Ensuite, une fenêtre bien calibrée…

En enfin le graphe, qui montre bien la progression géométrique :

• 3- \(u_1 = 5 × 1,2 = 6\) et \(u_2 = 6 × 1,2 = 7,2.\)


• \(\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1,2}\) qui est une constante. Donc \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 1,2.\)


• Par définition de la suite géométrique, \(u_n = 5 × 1,2^n\)


• Somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique : \(\displaystyle{S_n = u_1 × \frac{1 - q^n}{1 - q}}\) donc \(\displaystyle{S_8 = \sum\limits_{i = 1}^8 {{u_i}}} \) \(=\) \(\displaystyle{5 × \frac{1 - 1,2^8}{1 - 1,2}}\) soit 82,495424.

Proposition d’algorithme

Nous utiliserons une boucle bornée puisqu’on sait combien d’itérations seront nécessaires pour trouver le résultat.

En se servant d’une fonction :

Ou sans fonction...

n = int(input('nombre : '))
som = int()
for i in range(1,n+1):
    som = som + i**2
print('somme des carrés : ',som)