Critères de Cauchy, de d'Alembert et de Riemann
Dans notre rubrique « trucs et astuces » du jour, vous allez trouver des moyens de déterminer la nature de quelques séries. En effet, qui ne s’est jamais levé le matin en affrontant cette redoutable interrogation : « la série à termes positifs que j’analyserai aujourd’hui sera-t-elle convergente ? »
Trois bonnes recettes ont particulièrement fait leurs preuves. Le principe commun consiste à déterminer la limite de la suite qui constitue le terme général de la série, dès lors que cette limite existe, ou à examiner le rapport entre deux termes généraux.
Ci-dessous, on nommera \(S_n\) la somme des \(n\) premiers termes d'une suite \((u_n)\) avec \(n \in \mathbb{N}.\)
La règle de Cauchy
Si la limite de la racine énième d’une suite tend vers un nombre inférieur à 1, la série associée à cette suite est convergente et réciproquement, si cette limite est supérieure à 1, la série diverge. Enfin, si la limite s’établit à 1, il faut essayer une autre technique.
Ainsi, lorsque le terme général se trouve sous forme de puissance, l’emploi de l’astuce de Cauchy va de soi.
Exemple 1
Soit \(S_n\) la série définie comme suit :
\(\displaystyle{{S_n} = \sum {{{\left( {\frac{{n - 2}}{{2n + 3}}} \right)}^n}} }\)
Nommons \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = \left( \frac{n - 2}{2n + 3} \right)^n.\) Soit \(v_n\) la racine énième de \(u_n.\)
\(\displaystyle{v_n = {\frac{{n - 2}}{{2n + 3}}}}\)
Il est évident que la limite à l’infini est égale à 0,5. La série \(S_n\) est donc convergente.
Exemple 1bis
\(\displaystyle{{S_n} = \sum {{{\left( {\frac{{n - 2}}{{2n + 3}}} \right)}^{2n}}}} \)
Cette fois-ci, la limite s’établit à 0,25. Cette série aussi est convergente.
La règle de d’Alembert
On pose \(\frac{u_{n+1}}{u_n}.\) Si la limite à l’infini de ce rapport est inférieure à 1, la série converge. Supérieure à 1, elle diverge. Égale à 1, on essaie autre chose.
L’emploi du critère de d’Alembert est préconisé en cas de factorielles mais il ne marche pas à tous les coups.
Exemple 2
Intéressons-nous à la série suivante :
\(\displaystyle{{S_n} = \sum {\frac{{n(n - 1)}}{{(n - 1)!}}} }\)
Examinons le rapport entre deux termes généraux consécutifs.
\(\displaystyle{\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{n(n + 1)}}{{(n + 1)!(n + 2)}}}}{{\frac{{n(n - 1)}}{{(n + 1)!}}}}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{(n + 2)(n - 1)}}}\)
La détermination de la limite est du niveau d'une classe de première générale. On trouve zéro. La série converge.
La règle de Riemann
Cette technique est un peu moins facile d’emploi car elle s’appuie sur deux paramètres. On examine encore une suite \((v_n)\) qui utilise \(u_n,\) terme général de la série \(S_n,\) mais dont l’expression est \(v_n = n^{\alpha}u_n.\) Le résultat se lit dans le tableau :
| Limite nulle | Limite finie non nulle | Limite infinie | |
| \(\alpha \leqslant 1\) | Divergente | Divergente | |
| \(\alpha > 1\) | Convergente | Convergente |
Ce critère s’utilise notamment si l’on soupçonne que l’aide des théorèmes des croissances comparées nous sera précieuse. Rappelons que si \(\alpha\) est plus petit que 1, nous sommes dans le cadre des racines de \(n.\)
Exemple 3
Le terme général est \({u_n} = \frac{1}{{\ln (n + 1)}}\)
À l’infini, sa limite tend vers zéro. La série est-elle convergente pour autant ? Rappelons qu’il s’agit là d’une condition nécessaire mais pas suffisante...
Obtenons une suite \((v_n)\) en multipliant \(u_n\) par la racine carrée de \(n\) (ou cubique ou autre, d’ailleurs). Donc \(\alpha < 1.\) La limite tend vers l’infini : plus \(n\) s’accroît, plus le numérateur est grand par rapport au dénominateur (croissances comparées). Et quel verdict nous donne le tableau ci-dessus ? Divergence !
Exemple 4
Soit le terme général \(u_n = e^{-n}.\) Convergence ? Sa limite tend bien vers zéro mais nous avons appris à nous méfier… Cette fois-ci, à l’infini, c’est la fonction exponentielle qui domine toute fonction puissance. \(\forall \alpha \in \mathbb{R},\) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^\alpha }{e^{ - n}} = 0.\)
La série est bel et bien convergente…
Exemple 5
Le critère de Riemann sert aussi à déterminer la nature d’une série dont le terme général s’apparente à une division de deux polynômes. En voici un, justement :
\(\displaystyle{{u_n} = \frac{{n^2 + n - 3}}{{n^3 + 1}}}\)
Multiplions \(u_n\) par \(n\) (on cherche à obtenir le même degré au numérateur et au dénominateur). On trouve une limite égale à 1. Comme \(\alpha = 1\) et la limite n'est pas nulle, la série diverge.
Exemple 5bis
\(\displaystyle{{u_n} = \frac{{n^2 + n - 3}}{{n^4 + 1}}}\)
Même technique sauf que cette fois-ci, \(\alpha = 2.\) Du coup, la série converge.
