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(et fondements mathématiques)

Règles de convergence pour séries

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Critères de Cauchy, de d'Alembert et de Riemann

Dans notre rubrique « trucs et astuces » du jour, vous allez trouver des moyens de déterminer la nature de quelques séries.  En effet, qui ne s’est jamais levé le matin en affrontant cette redoutable interrogation : « la série à termes positifs que j’analyserai aujourd’hui sera-t-elle convergente ? »

Trois bonnes recettes ont particulièrement fait leurs preuves. Le principe commun consiste à déterminer la limite de la suite qui constitue le terme général de la série, dès lors que cette limite existe, ou à examiner le rapport entre deux termes généraux.

La règle de Cauchy

Si la limite de la racine énième d’une suite tend vers un nombre inférieur à 1, la série associée à cette suite est convergente et réciproquement, si cette limite est supérieure à 1, la série diverge. Enfin, si la limite s’établit à 1, il faut essayer une autre technique.

Ainsi, lorsque le terme général se trouve sous forme de puissance, l’emploi de l’astuce de Cauchy va de soi.

Exemple 1

série

Soit vn la racine énième de un.

terme général

Il est évident que la limite à l’infini est égale à 0,5. La série Sn est donc convergente.

Exemple 1bis

légère différence

Cette fois-ci, la limite s’établit à 0,25. Cette série aussi est convergente.

La règle de d’Alembert

On part de l’observation de un+1 / un. Si la limite à l’infini de ce rapport est inférieure à 1, la série converge. Supérieure à 1, elle diverge. Égale à 1, on essaie autre chose.

L’emploi du critère de d’Alembert est préconisé en cas de factorielles mais il ne marche pas à tous les coups.

Exemple 2

Intéressons-nous à la série suivante :

d'Alembert (exemple)

Examinons le rapport entre deux termes généraux consécutifs.

un+1/un

La détermination de la limite est du niveau d'une classe de première S ou ES. On trouve zéro. La série converge.

La règle de Riemann

Cette technique est un peu moins facile d’emploi car elle s’appuie sur deux paramètres. On examine encore une suite vn qui utilise un, terme général de la série Sn, mais dont l’expression est vn = nαun. Le résultat se lit dans le tableau :

règle de Riemann

Ce critère s’utilise notamment si l’on soupçonne que l’aide des théorèmes des croissances comparées nous sera précieuse. Rappelons que si alpha est plus petit que 1, nous sommes dans le cadre des racines de n.

Exemple 3

Le terme général est le suivant :

un

À l’infini, sa limite tend vers zéro. La série est-elle convergente pour autant ? Rappelons qu’il s’agit là d’une condition nécessaire mais pas suffisante...

Obtenons une suite (vn) en multipliant un par la racine carrée de n (ou cubique ou autre, d’ailleurs). Donc α < 1. La limite tend vers l’infini : plus n s’accroît, plus le numérateur est grand par rapport au dénominateur (croissances comparées). Et quel verdict nous donne le tableau ci-dessus ? Divergence !

Exemple 4

Soit le terme général un = e-n. Convergence ? Sa limite tend bien vers zéro mais nous avons appris à nous méfier… Cette fois-ci, à l’infini, c’est la fonction exponentielle qui domine toute fonction puissance. Autrement dit :

limite

La série est bel et bien convergente…

Exemple 5

Le critère de Riemann sert aussi à déterminer la nature d’une série dont le terme général s’apparente à une division de deux polynômes. En voici un, justement :

exemple

Multiplions un par n (on cherche à obtenir le même degré au numérateur et au dénominateur). On trouve une limite égale à 1. Comme α = 1 et limite ≠ 0, la série diverge.

Exemple 5bis

autre exemple

Même technique sauf que cette fois-ci, α = 2. Du coup, la série converge.

 

nain matheux

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés