Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les évolutions successives

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Taux d'évolution sur plusieurs périodes

Préambule : le contenu de cette page s’inscrit dans le programme de maths de première (notamment ES et STMG). C’est la suite logique d'un cours sur les taux d’accroissement. Elle répond à la question : si une grandeur connaît successivement plusieurs variations, quelle est son taux d'évolution global ?

Exemple : soit une augmentation de 10 %, puis une autre de 7 % puis une baisse de 3 %. À combien s’élève la variation totale ?

Dès qu’un calcul de pourcentage se profile, il faut sans plus tarder utiliser les coefficients multiplicateurs. En l’occurrence, l'opération consiste simplement à les multiplier entre eux pour obtenir le résultat. On sait qu’il suffit pour cela de prendre 1 et d’ajouter (ou d’enlever, c’est selon) le taux d’évolution divisé par 100. C’est très facile dans le cas des hausses. Pour les baisses, cela demande un léger calcul mental aux plus courageux et une calculatrice pour les autres.

Donc, 1,10 × 1,07 × 0,97 = 1,14169. La hausse globale est de 14,17 % (arrondi).

Éventuellement, la série de nombres peut être présentée sous forme d’indice (Cf. exercice 4 ci-dessous).

Lorsque le taux est chaque fois le même, il suffit d’élever le coefficient multiplicateur à une puissance. C’est le principe de la suite géométrique utilisé notamment dans un calcul d’intérêts composés (toujours le même taux et des intérêts reçus qui rapportent à leur tour des intérêts).

Pour connaître le taux moyen de plusieurs évolutions successives, voir la page racines énièmes.

Dans la mesure où les explications ne sont pas plus compliquées que ça, voici sans plus tarder de quoi vous exercer aux calculs d'évolutions...

Exercice 1

Un directeur commercial constate que ses ventes de nains de jardin ont augmenté de 12 % au premier trimestre, puis de 25 % au deuxième trimestre (par rapport au premier) et qu’elles ont diminué de 30 % au troisième trimestre. Quel devrait être la progression du quatrième trimestre pour dépasser l’objectif fixé pour l’année qui est de +10 % ? Arrondir à deux décimales.

Exercice 2

Les ventes annuelles de nains de jardin s’établissent ainsi :

3 années

Quels sont les taux d’accroissement d’une année sur l’autre ? Calculer le taux d’évolution global de deux façons différentes.

Exercice 3 (plutôt pour filière ES)

Les ventes d'une entreprise augmentent deux années de suite de x %. Au total, la hausse s’élève à 21 %. Quelle est la progression annuelle ?

Exercice 4 (avec indices)

Les ventes sur six années se présentent comme suit :

six années

Quelle est l’évolution relative observée entre 2007 et 2012 ?

Calculer les indices de chaque année, base 100 en 2007. En déduire une remarque judicieuse.

Corrigé 1

Appelons x le coefficient multiplicateur du quatrième trimestre et utilisons les coefficients multiplicateurs dans une inéquation.

évolution

1,12 × 1,25 × 0,70 × x > 1,1

Il s’ensuit que 0,98 x > 1,1

Donc x > 1,1224. Les ventes du quatrième trimestre doivent progresser d’au moins 12,24 % (ce qui ne sera pas évident à réaliser car les nains de jardin se vendent très mal en automne).

Corrigé 2

De 2010 à 2011…

taux d'accroissement

De la même manière, on trouve une baisse de 8 % entre 2011 et 2012.

La façon la plus simple de calculer l’évolution globale consiste à comparer 2010 et 2012. Le taux d’accroissement entre 600 et 690 se calcule comme ci-dessus. On trouve 15 %.

L’autre solution consiste à multiplier les coefficients directeurs des deux taux que nous venons de calculer. 1,25 × 0,92 = 1,15. Ce coefficient correspond bien à une hausse de 15 %.

Corrigé 3

Il faut comme toujours raisonner avec les coefficients multiplicateurs.

détail des calculs

Donc x = 0,1 × 100 = 10. L’augmentation annuelle des ventes est de 10 %.

Corrigé 4

L’évolution sur les six années (soit cinq évolutions) se calcule comme dans les exercices précédents. On trouve facilement +38 %.

Pour obtenir une série indicée 100 en 2007, il faut diviser toutes les valeurs par celle de 2007, c’est-à-dire 500, puis les multiplier par 100.

avec indices

La remarque à faire, c’est que l’augmentation de 38 % se constate aussi sur la dernière case du tableau (si l’on passe de 100 à 138, il est évident que l’augmentation est de 38 %).

 

évolutions successives

 

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