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(et fondements mathématiques)

La loi uniforme

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Lois uniformes (discrète et continue)

Bon, voici un sujet facile. La loi uniforme est une loi de probabilité très simple puisque c’est celle du pur hasard. C’est la loi de l’équiprobabilité. Il en existe deux versions, l'une discrète et l'autre continue. Attention, si vous êtes en terminale cette page dépasse trop votre programme ; rendez-vous en page propriétés de la loi uniforme.

Loi uniforme discrète

S’il existe n éventualités (par exemple 6 dans le cas d'un jet de dé cubique), la probabilité d’un évènement est de 1 / n. On en déduit aisément que l’espérance de cette loi est (n + 1) / 2. La variance s’établit quant à elle à ( – 1) / 12.

Comme on s’intéresse rarement au hasard absolu, cette loi n’a d’intérêt que lorsqu’on lui compare une série d’observations. Exemple en page test de Kolmogorov-Smirnov où, dans une étude de marché, une distribution réelle est comparée à une distribution uniforme. On y teste l’hypothèse H0 que le phénomène observé est dû au hasard.

Loi uniforme continue (ou rectangulaire)

Une loi est uniforme entre une valeur a et une valeur b lorsque la densité de probabilité est toujours égale sur cet intervalle et nulle en-dehors. Graphiquement, l'aire délimitée par courbe de densité, l'axe des abscisses et les valeurs minimale et maximale prises par la variable aléatoire (v.a) forme un unique rectangle (voir page propriétés de la loi uniforme). La fonction de répartition montre un accroissement linéaire entre a et b (voir page fonctions de répartition). L’espérance est (a + b) / 2, la variance (b – a)² / 12 et le coefficient d'asymétrie est nul.

Là aussi, l’intérêt de cette loi est de lui comparer une distribution observée dont la représentation graphique présente de faux-airs de rectangle.

Non additivité

Un phénomène très logique est la non-additivité de deux lois uniformes indépendantes (contrairement à ce qui est observé avec la loi normale). La densité obtenue est alors triangulaire. Si deux lois sont uniformes pour des valeurs de 1 à 6, leur somme ne sera pas uniforme de 2 à 12 ! Au contraire, il y aura peu de 2 et peu de 12 mais beaucoup de 6, l’histogramme montrant alors une forme de triangle (voir les règles de la combinatoire). Ainsi, avec deux lancers de pièces, on obtient les résultats théoriques suivants :

pile ou face

Exemple de test

Vous pesez 15 colis. Leurs poids figurent ci-dessous. L’histogramme les regroupe par tranches de 1 kg.

histogramme

Sous H0, on considère que la loi est uniforme.

Les résultats suivants ont été obtenus avec XLSTAT.

résultats Xlstat

Le test unilatéral du khi² montre que l’hypothèse d’égalité ne peut pas être rejetée (même si la figure ne ressemble pas tout à fait à un rectangle). Un découpage en 20 classes de même amplitude a été réalisé par le logiciel.

khi deux

À toutes fins utiles, voici le tableau de comparaison entre fréquences observées et théoriques :

tableau de comparaison

Espérance de la loi continue

Pour terminer, une rapide démonstration qui constitue un exemple simple de résolution d’une intégrale généralisée. Il s’agit de trouver l’espérance de la loi uniforme grâce à la fameuse formule qui donne l’espérance de toute loi de probabilité continue. Ainsi, pour une v.a X et une fonction de densité f, nous avons :

intégrale

Dans le cas de la loi uniforme, il s’agit d’une « fausse » intégrale généralisée puisque la fonction de densité est égale 1 / (b – a) entre a et b et à zéro partout ailleurs… Par la relation de Chasles, on peut éliminer impitoyablement les infinis :

relation de Chasles

Soit…

espérance

 

chimpanzés

 

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