Exercice de seconde sur les probabilités
Lorsqu’on aborde le chapitre sur les probabilités en classe de seconde, on sait déjà convertir des effectifs en pourcentages (ou en fréquences), y compris dans un tableau à double entrée.
Au cours de ce chapitre, on apprend en outre à utiliser une formule importante : \(A \cup B\) \(=\) \(A + B - (A \cap B).\) Celle-ci fait l'objet de la page d'intersections et réunions d'évènements.
Grâce à tant de savoir accumulé, il est possible de réaliser quelques exercices amusants (mais si, amusants).
En voici un assez complet. Il ne pose pas de difficulté. Vous pouvez vous entraîner à le faire le plus vite possible (la rapidité est une qualité très importante lors des contrôles et on n’insiste jamais assez sur la nécessité de s’exercer à travailler vite).
Énoncé
Dans sa tablette, Timoléon s’est constitué un dossier « vieilles chansons françaises ». Il contient 80 titres : 2 d’Aristide Bruant, 3 de Maurice Chevalier, 4 de Tino Rossi, 20 d’Édith Piaf, 21 de Jacques Brel, les autres étant de Georges Brassens. La plupart des chansons ont été enregistrées en studio sauf 18 qui sont live : 4 de Brassens, 6 de Piaf. Les autres enregistrements en concert sont des chansons de Brel.
- Remplir le tableau suivant avec les nombres de fichiers.
- Refaire le même tableau mais cette fois-ci avec les pourcentages du total.
- Timoléon lance une lecture aléatoire des fichiers. Les probabilités que sa lecture commence par telle ou telle chanson sont toutes égales. Résumer dans un tableau les probabilités que la lecture débute par les différents types de chanson (selon les deux critères déjà utilisés). Les probabilités seront présentées avec des décimales et sans arrondi. Quelle est la probabilité \(P(B)\) que la lecture commence par une chanson de Brel ? Par une chanson enregistrée en studio \(P(S)\) ?
- Comment note-t-on la probabilité que le premier fichier lu soit une chanson de Brel enregistrée en studio ? Quelle est cette probabilité ?
- Soit \(P(P)\) la probabilité que la première chanson soit interprétée par Édith Piaf. Calculer \(P(P \cup S).\) Que signifie cette probabilité ? Vérifier le résultat (facultatif).
Corrigé expliqué
1- Nombres de fichiers. Pour faciliter la compréhension, les valeurs directement issues de l’énoncé sont inscrites en noir et celles qui en sont déduites figurent en bleu.
2- Pourcentages. Il s’agit de diviser tous les nombres ci-dessus par 80 puis de les multiplier par 100.
3- Probabilités. Elles sont rigoureusement proportionnelles aux pourcentages. Si par exemple le dossier comporte \(2,5\%\) de chansons de Bruant, alors la probabilité qu’une lecture aléatoire commence par une chanson de Bruant est de \(\frac{2,5}{100}.\)
\(P(B) = \frac{21}{80} = 0,2625\)
La probabilité que la lecture commence par une chanson de Brel est de 0,2625.
\(P(S) = \frac{62}{80} = 0,775\)
La probabilité que la lecture commence par une chanson enregistrée en studio est de 0,775.
Ces deux probabilités ont pu s’obtenir par n’importe lequel des tableaux ci-dessus.
4- Dans la mesure où la probabilité doit satisfaire un critère ET un autre, il s’agit d’une intersection. D’ailleurs, nous voyons bien dans les tableaux ci-dessus que la case qui nous intéresse est à l’intersection de la ligne « studio » et de la colonne « Brel ». Donc, nous cherchons \(P(B \cap S).\)
Il y a 13 chansons sur 80 qui sont à la fois interprétées par Brel ET enregistrées en studio. La probabilité de débuter la lecture par une chanson qui corresponde à ces deux critères simultanément est donc de \(\frac{13}{80},\) c’est-à-dire 0,1625. Par conséquent, \(P(B \cap S) = 0,1625.\)
Note : vous remarquerez que toutes les cases d’un tableau à l’exception de celles des lignes et colonnes « Total » sont des « inter ».
5- \(P(P) = \frac{20}{80} = 0,25.\)
La probabilité que la lecture commence par une chanson de Piaf s’établit à 0,25.
\(P(P \cup S)\) \(=\) \(P(P) + P(S) - P(P \cap S).\)
Nous avons besoin de \(P(P \cap S).\) Nous lisons dans le dernier tableau \(P(P \cap S)\) \(=\) \(0,175.\) Par ailleurs, nous avons vu en question 3 que \(P(S) = 0,775.\)
\(P(P \cup S)\) \(=\) \(0,25 + 0,775 - 0,175\) \(=\) \(0,85.\)
C’est la probabilité que la première chanson lue par la tablette soit de Piaf OU enregistrée en studio.
Vérification. Sur le tableau ci-dessous, les titres correspondant à \(P \cup S\) sont indiqués en rose.
\(P( P \cup S)\) \(=\) \(\frac{2 + 3 + 4 +14 + 13 + 26 + 6}{80}\)
\(\Leftrightarrow P(P \cup S) = \frac{68}{80}\)
\(\Leftrightarrow P(P \cup S) = 0,85\)
Le compte est bon.
