Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une introduction à la loi normale

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Loi normale : présentation et utilisation de calculatrices

La loi normale est sans doute la loi de probabilité star des statisticiens. Elle décrit une foule de phénomènes dans des domaines aussi variés que la finance, la psychologie, l’anatomie, etc.

En France, le programme de maths de terminale l’aborde de façon surprenante (en filières générales) : en généralisant la loi normale centrée réduite. D’où la définition suivante :

Soit X une variable aléatoire (v.a) continue, m ∈ R et σ > 0.

Soit Z la v.a définie comme suit :

Z

Si Z suit une loi normale centrée réduite, alors X suit une loi normale d’espérance m et d’écart-type σ notée :

loi normale

Autre curiosité propre aux programmes du secondaire, celle de présenter une loi normale en indiquant sa variance (et non son écart-type comme c’est l’usage partout ailleurs).

La fonction de densité s’exprime ainsi (exp est l’abréviation de l’exponentielle) :

loi normale

La loi normale centrée réduite est donc la loi normale dont les paramètres sont m = 0 et σ = 1.

L’allure de la courbe représentative d’une fonction de densité de loi normale centrée réduite vous est familière (en rouge ci-dessous). Comparons-la avec des courbes représentant des densités de lois normales ayant d’autres écart-types. Ci-dessous, pour une même espérance nulle, la loi normale d’écart-type 2 est représentée en bleu et la loi d’écart-type 0,5 est représentée en vert (réalisation sur SineQuaNon). Plus la dispersion est élevée, plus la courbe est aplatie et plus elle est faible, plus la courbe est resserrée.

densités

L’aire comprise entre chaque courbe et l’axe des abscisses vaut évidemment 1 puisque la somme des probabilités d’une loi, quelle qu’elle soit, est égale à 1.

La probabilité qu’une v.a prenne une valeur comprise dans un intervalle donné est obtenue par l’intégrale de la fonction de densité entre les deux bornes de l’intervalle. En pratique, il est heureusement inutile d’intégrer la fonction ! Vous utiliserez la calculatrice. Voyons comment à partir d’un exemple.

Exemple

Un agriculteur doit fournir des choux-fleurs à sa coopérative. Leur poids moyen est de 1 200 g et l’écart-type est de 80 g. Quelle est la probabilité qu’un chou-fleur pèse entre 1 100 g et 1 300 g ?

Avec une TI-83, touches 2nd et VARS pour obtenir le menu des distributions de probabilités. Puis choix n° 2 (normalFrép ou normalcdf).

TI

Il faut ensuite entrer quatre nombres : la borne inférieure (1 100), la borne supérieure (1 300), l’espérance (1 200) et l’écart-type (80). Ils sont séparés par des virgules (et non des points décimaux, donc la touche située au-dessus de la touche 7). Validez et le résultat apparaît (environ 0,79) :

TI

Avec une Casio graphique, dans le menu, choix STAT, puis DIST, puis NORM et enfin Ncd.

Ensuite, il faut entrer la borne inférieure puis la supérieure. Attention, c’est ensuite l’écart-type qu’il faut renseigner puis l’espérance :

casio

L’exécution permet d’obtenir l’écran suivant :

casio

On remarque une très légère différence de résultat avec la TI (à la septième décimale).

Pour terminer, faisons l’exercice avec des tableurs.

Avec Excel 2013, entrez dans une cellule la formule suivante :

=LOI.NORMALE.N(1300;1200;80;1)-LOI.NORMALE.N(1100;1200;80;1)

Résultat : 0,788700452666290

Avec le tableur OpenOffice :

=LOI.NORMALE(1300;1200;80;1)-LOI.NORMALE(1100;1200;80;1)

On obtient le même résultat qu’avec Excel. Les tableurs donnent raison à la Casio…

Complétez vos connaissances logicielles en page loi normale et GeoGebra.

 

chou-fleur

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés