Un exercice sur deux lois à densité

Lois à densité au bac S

Si vous avez prévu de vous présenter au bac S dans les prochains mois ou si vous avez tout simplement envie de vous entraîner sur des lois de probabilités à densité, voici un exercice qui devrait vous ravir.

Exercice

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer (sic) entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Cette partie est traitée en page conditionnement au bac S.

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire TV suivant une loi normale d’espérance μV et d’écart-type 1 minute.

Lorsqu’elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire TC suivant une loi normale d’espérance μC et d’écart-type 3 minutes.

  1. On nomme CC et CV les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires TV et TC représentées dans la figure ci-dessous.
    Déterminer, en justifiant votre réponse, μV et μC.


    courbes

  2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à 10-4.
  3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée X, suivant une loi exponentielle de paramètre λ, réel strictement positif.

La fonction de densité associée est donc la fonction f définie sur [0 ; +[ par

densité f(t)

  1. Soit b un réel positif.
    Démontrer, à l’aide d’une intégrale, que

    P(X<b)
  2. On sait que la probabilité que l’ampoule fonctionne encore après 50 heures d’utilisation est 0,9. a. En déduire la valeur exacte de λ.
    b. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l’ampoule soit supérieure à 250 heures sachant que l’ampoule a déjà fonctionné 200 heures.

Corrigé commenté

Partie B

1. Les deux courbes sont symétriques, l’une par rapport à 14 et l’autre à 16. La courbe la plus resserrée représente une densité dont l’écart-type est plus petit. Ainsi, la courbe en pointillée représente les trajets en transports en commun (écart-type de 3 et espérance de 16), l’autre représente les trajets en vélo (écart-type de 1 et espérance de 14).

2. On utilise la calculatrice pour trouver P(10 < Tv < 15) ≈ 0,8413. Voir la page d’utilisation des calculatrices pour la loi normale.

La probabilité que le trajet domicile-travail en vélo de Romane dure entre 10 et 15 mn est d’environ 0,8413 (arrondi au dix-millième).

3. Comparons P(TV < 15) à P(TC > 15).

Nous pouvons à nouveau utiliser la calculatrice. Ainsi P(0 < Tv < 15)  0,84 tandis que P(TC < 15)  0,37.

Romane a donc intérêt à privilégier le vélo puisque la probabilité que le trajet dure moins de 15 minutes est largement supérieure avec ce moyen de transport.

Remarquons que la calculatrice était inutile puisque μC = 16, ce qui implique que Romane a moins d’une chance sur deux que son trajet dure moins de 15 mn, donc une probabilité plus faible qu’avec le vélo.

D’ailleurs, le choix du vélo apparaît évident lorsqu’on compare les deux courbes.

Partie C

1.

intégration

Sur [0 ; +[, une primitive de f est F(t) = -e-λt

1 - exp(-lambda b)

2. a. Nous savons que P(X > 50) = 0,9 et que P(X < b) = 1 – e-λt, donc que P(X > b) = 1 – (1 –e-λt), c’est-à-dire P(X > b) = e-λt.

Nous posons donc l’équation suivante :

exp(-50lambda) = 0,9

lambda = -ln0,9 / 50

Le sujet ne demandait pas de valeur approchée. Avec un tel nombre, on en conclut que… Roxane n’est pas plus avancée ! (évitez tout de même cette phrase-réponse).

b. La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement. Par conséquent :

P(> 250 – 200) = P(> 50) = 0,9

La probabilité que la durée de fonctionnement de l’ampoule soit supérieure à 250 heures sachant que l’ampoule a déjà fonctionné 200 heures s’établit à 0,9.