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(et fondements mathématiques)

La loi normale avec GeoGebra

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Loi normale : présentation et utilisation de GeoGebra

La loi normale, ou loi de Gauss, est sans doute la loi de probabilité théorique la plus utilisée en pratique. On la retrouve dans les domaines les plus divers. Sur ce site, un bon nombre de pages lui font honneur. Ici, nous n’évoquerons que quelques principes pour vous permettre une compréhension facile, sans formule mathématique. Cette page peut servir de soutien pour des élèves de terminale STMG. Soit dit en passant, vous y apprendrez à tracer des courbes de Gauss avec GeoGebra mais même si ce logiciel vous laisse de marbre, cette page vous initiera tout de même à un trésor statistique.

La courbe

Un pêcheur capture un banc de maquereaux. Tous les poissons sont mesurés. Leur taille moyenne s’établit à 35 cm. Bien sûr, certains spécimens s'en éloignent. Par exemple le plus grand mesure 47 cm et le plus petit 23 cm mais en général, les tailles sont proches de la moyenne.

maquereaux

Si l’on représente graphiquement tous les poissons capturés en fonction de leur taille, la distribution ressemble à peu près à ceci :

m = 35, s = 4

La lecture de la courbe est facile. Si l’on prend un poisson au hasard, sa taille a plus de chances de se trouver là où la courbe est haute.

Cette courbe « en cloche » indique que la distribution de la population peut être approchée par une loi de probabilité particulière : la loi normale. Bien sûr, dans la réalité, la distribution observée ne sera pas aussi lisse mais si l’on admet qu’il existe un air de famille avec cette distribution théorique, on peut utiliser les propriétés de la loi normale.

Ici, la moyenne est de 35 cm. La moyenne est donc un paramètre de la loi normale mais il en existe un autre : l’écart-type. Plus la population est dispersée autour de la moyenne, plus l’écart-type est élevé. Si les tailles des poissons avaient été plus homogènes, la courbe aurait pu ressembler à ceci :

m = 35, s = 2

Dans le premier cas, l’écart-type était de 4 et dans le second il est de 2. La courbe est déformée mais elle conserve les mêmes caractéristiques. C’est toujours la loi normale.

Pour information, ces courbes ont été réalisées avec GeoGebra. Il a suffi d’entrer dans la ligne de saisie Normale[35,4,x] pour la première et Normale[35,2,x] pour la seconde, puis d’ajuster l’échelle des deux axes pour parvenir à distinguer quelque chose.

Les probabilités

Si l’on suppose que la distribution des tailles de maquereaux suit bien une loi normale dont on connaît les deux paramètres, alors on peut estimer une probabilité de se trouver dans un intervalle donné.

Par exemple, le pêcheur vend ses poissons au supermarché mais conserve ceux qui mesurent plus de 40 cm afin que son épouse les vende sur le marché du port. Quelle est la probabilité qu’un maquereau mesure moins de 40 cm ?

Cette probabilité peut être calculée directement par différents moyens, notamment avec une calculatrice (voir l'exemple de la page loi normale et calculatrice), mais poursuivons avec GeoGebra. Dans le menu Affichage, cliquez sur Calculs de probabilités.

Sous l’espace graphique, vous choisissez la loi normale, entrez les paramètres de moyenne et d’écart-type et enfin vous indiquez qu’il vous faut une taille inférieure à 40 cm. Le résultat s’affiche : la probabilité est de 0,8944 (entourée en rouge sur l’extrait d’écran ci-dessous).

geoGebra

La zone violette représente la proportion probable de poissons vendus au supermarché. Si d’autres bancs de poissons ont les mêmes caractéristiques (une moyenne de 35 et un écart-type de 4), l’épouse du pêcheur peut espérer vendre environ 11 % de la pêche (c’est-à-dire 1 – 0,8944) quelle que soit la quantité de poissons pêchés.

Notez que l’on peut aussi chercher la probabilité de se trouver entre deux valeurs. Par exemple, le supermarché refuse les poissons de moins de 30 cm. Quelle est la probabilité qu’un poisson soit vendu au supermarché ?

Nous cherchons à présent la probabilité qu'un maquereau mesure entre 30 et 40 cm. Clic sur l’intervalle [ ] (indiqué ci-dessous par une flèche), entrée de la valeur minimale et de la valeur maximale et il apparaît 0,7887. Ce qui en pratique signifie qu’on peut espérer vendre environ 79 % de la pêche au supermarché.

Extrait d’écran :

En pratique, un intervalle est très souvent retenu. Il s'agit de l'espérance plus ou moins deux écarts-types. Environ 95 % d'une population distribuée normalement s'y trouve (voir la page intervalle de fluctuation d'une variable aléatoire).

 

 

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