Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une initiation aux paramètres de dispersion

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Variance et écart-type : première approche

Niveau d’étude : première S, première ES et première STMG (les formules ne figurent pas au programme des filières technologiques).

Lorsqu’on étudie une variable statistique quantitative sur une population, il est souvent utile de savoir à quel point celle-ci est dispersée. Par exemple, pour un contrôle qualité, ce n’est pas du tout la même chose si une coopérative agricole remplit ses sacs de grain de 25 kg avec exactement 25 kg chacun (dispersion faible) ou avec des poids dont la moyenne se situe bien à 25 kg mais qui peuvent varier de 24 à 26 kg (dispersion forte).

Une première façon d’évaluer cette dispersion est enseignée en seconde. C'est la technique des quartiles. Ils ne sont pas difficiles à calculer mais leur interprétation peut être malaisée. Il est plus pratique de suivre un seul indicateur pour évaluer un niveau de dispersion.

Cet indicateur existe et c’est l’écart-type. Calculer un écart-type à la main est une vraie galère mais heureusement, il est facile de l’obtenir directement soit avec une calculatrice, soit avec Excel, soit avec une flopée d’autres logiciels.

L’écart-type est la racine carrée de la variance. Il s’écrit σ (sigma). Un calcul à la main suppose donc de déterminer dans un premier temps cette fameuse variance. Mais elle n’est qu’une étape. Comme c’est un carré, elle n’est pas exprimée dans la même unité que le critère étudié, contrairement à l’écart-type (si l’on mesure des tailles en cm, l’écart-type sera bien exprimé en cm mais pas la variance).

Série simple

variance

N est l’effectif. Le sigma majuscule Σ se lit « somme de i = 1 à N ». C’est une notation que l’on rencontre souvent dans les formules de statistiques. La variance apparaît donc comme la moyenne des carrés des écarts entre chaque xi et leur moyenne.

Habituellement, au lycée, on rédige cette formule avec les données de l’énoncé pour montrer que l’on connaît son cours puis on trouve le résultat à la calculatrice. Avec une TI-82 ou TI-83, il faut utiliser la fonction statistique comme indiqué en page série statistique. Parmi les choix proposés, on retient l’écart-type σx. Notez bien que cette calculatrice ne donne pas la variance (pour cela il faut élever l’écart-type au carré).

Exemple : soit la série statistique {1 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 ; 8}. Quel est son écart-type ?

D’abord, calculons la moyenne. Ici, N = 6 puisque nous avons six données.

moyenne

Ensuite, posons directement la formule de l’écart-type.

écart-type

Puis enfin le résultat (avec calculatrice, sauf si l’on a du temps à perdre). σ ≈ 2,16.

Série avec effectifs

Supposons k valeurs différentes.

variance

Pour bien comprendre qui est quoi…

tableau explicatif

Un exemple de calcul manuel se trouve en page exercice sur série statistique.

Notez que si l’on ne dispose pas des effectifs mais des fréquences fi la formule devient…

variance

Théorème de König

Il existe une autre technique manuelle pour calculer une variance. Elle fait partie du programme de première S et peut être rencontrée à titre d’exercice en première ES. C’est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

formule de König

Démonstration. Partons de la formule vue plus haut.

variance

Développons l’identité remarquable.

identité remarquable

développement

Factorisons pour qu'apparaissent des formules connues.

factorisation

dernière étape

formule de König

 

calcul de variance

 

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