Forme canonique et équation d'un cercle
La technique de mise sous forme canonique ne trouve pas son utilité que dans le milieu restreint des fonctions polynomiales du second degré. Découvrons-lui un autre terrain de prédilection, celui du cercle. Ce type d’utilisation figure au programme de première générale.
Cette page se présente sous la forme d'exemples.
Rappel
L'équation cartésienne d'un cercle dans le plan muni d'un repère orthonormé est la suivante (\(r\) est le rayon tandis que les coordonnées du centre du cercle sont \((x_0\,;y_0)\))
\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.\)
Une équation sous cette forme est donc très parlante puisqu'elle nous renseigne directement sur les caractéristiques du cercle.
Il existe aussi une forme développée. Vous admettrez qu'il est facile de l'obtenir en développant les deux identités remarquables.
Soit \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\) avec \(a = -2x_0,\) \(b = 2y_0\) et \(c = {x_0}^2 + {y_0}^2 - r^2.\)
Cependant, cette forme nous est beaucoup moins utile et c'est le chemin inverse qui est habituellement parcouru. Si l'on dispose de la forme développée, on s'empresse de la transformer en une somme de deux trinômes.
La procédure consiste à faire apparaître deux formes canoniques dans une même équation.
Exemple
Considérons deux points du plan muni d'un repère orthonormé, \(A (2\,;3)\) et \(B(-1\,;4).\) On cherche l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 10.\)
Nous avons donc une somme de deux carrés scalaires. Mais il n'est pas nécessaire d'avoir étudié le produit scalaire pour comprendre la suite (il faut juste se souvenir de la formule des distances issue du théorème de Pythagore).
\(M\) étant pour l’instant mystérieux, prêtons-lui les coordonnées \((x\,;y).\)
Nos carrés de distances peuvent donc s'exprimer ainsi : \(MA^2 = (2 - x)^2 + (3 - y)^2\) et \(MB^2 = (-1 - x)^2 + (4 - y)^2,\) ce qui permet de poser :
\((2 - x)^2 + (3 - y)^2 + (-1 - x)^2 + (4 - y)^2\) \(= 10\)
Quatre identités remarquables ! Un régal.
\(4 - 4x + x^2 + 9 - 6y + y^2\) \(+ 1 + 2x + x^2 + 16 - 8y + y^2\) \(= 10\)
Réduisons pour que le régal soit digeste.
\(2x^2 - 2x + 2y^2 - 14y = -20\)
Une division des deux membres par 2 simplifiera nos calculs.
\(x^2 - x + y^2 - 7y = -10\)
Et voici le moment tant attendu, celui de la double mise en forme canonique (pour \(x\) et pour \(y\)).
\((x - 0,5)^2 - 0,5^2 + (y - 3,5)^2 -3,5^2\) \(= -10\)
\(\Leftrightarrow (x - 0,5)^2 - 0,25 + (y - 3,5)^2 - 12,25\) \(= -10\)
Que nous reste-t-il ? L’équation d’un cercle.
\((x - 0,5)^2 + (y - 3,5)^2 = 2,5.\)
\(M\) représente donc l’ensemble des points du cercle dont le centre a pour abscisse 0,5 et pour ordonnée 3,5. Son rayon est égal à la racine carrée de 2,5.
Note : une SOUSTRACTION de deux carrés scalaires faisant intervenir un même point se traduit graphiquement non par un cercle mais par une droite.
Exemple (bis)
Cet exemple est lié au précédent.
Nous chercherons comment définir graphiquement, dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points définis ainsi :
\[\frac{x^2 - x + y^2 - 7y + 10}{x} = 0\]
Si nous faisons abstraction du dénominateur, nous nous ramenons à ce qui a été établi dans l'exemple précédent. En effet, nous reconnaissons l'équation faisant intervenir la forme développée.
Oui mais ce dénominateur est là ! Il ne remet pas en cause la résolution de l'équation telle que réalisée ci-dessus et qui nous a conduit à reconnaître un cercle de rayon \(\sqrt {2,5} \) et de centre \((0,5\,;3,5).\) Cependant il nous impose une contrainte : \(x\) doit être différent de 0.
L'équation définit donc le cercle que nous venons de décrire mais à l'exclusion des points situés sur l'axe des ordonnées.
Pour trouver les coordonnées de ces points bannis, remplaçons \(x\) par 0 dans l'équation.
Il nous reste \(y^2 - 7y + 10 = 0\)
Le discriminant \(\Delta\) est égal à \(7^2 - 4 \times 10 = 9.\) Comme \(\Delta > 0,\) l'équation admet deux racines.
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = 2\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 5\)
Par conséquent, les solutions de l'équation sont les points qui forment le cercle de centre \((0,5\,;3,5)\) et de rayon \(\sqrt {2,5} \) à l'exclusion des points de coordonnées \((0\,; 2)\) et \((0\,;5).\)
Voir aussi l'exemple qui illustre la page sur l'équation d'un cercle ainsi que les exercices sur équations de figures et l'exercice sur cercles et droites (question 1).
