Quelques équations de formes

Exercice sur équations de formes

Si vous êtes en première générale, votre programme de maths comprend un chapitre sur la géométrie plane repérée. Vous manipulez des équations cartésiennes de droites, de cercles et de paraboles.

Cette page vous propose un exercice simple auquel vous pouvez vous atteler lorsque vous connaissez ces trois types d’équations. À vous de qualifier celles qui figurent ci-dessous.

 

Rappels

Dans les formules qui suivent, toutes les lettres représentent des réels. Nous nous situons dans un plan muni d’un repère orthonormé.

L’équation cartésienne d’une droite est de la forme \(α x + β y + δ = 0.\)

L’équation d’un cercle est de la forme \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\)

L’équation d’une parabole est de la forme \(y = ax^2 + bx + c.\)

 

Énoncé

Déterminer les figures associées aux équations ci-dessous (nous nous situons là aussi dans un plan muni d’un repère orthonormé).

  1. \(y = (x + 2)(x - 3) - x^2\)
  2. \(2y = (x + 2)(x - 3)\)
  3. \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\)
  4. \(y = \sqrt{3 - x^2}\)
  5. \(x^2 + y^2 + 8x = -32\)
  6. \(x^2+ y^2 + 8x = -16\)
  7. \(x = y^2 + 2y -1\)

Déterminer les valeurs de \(k\) pour que l’équation ci-dessous soit celle d’un cercle.

\(x^2 +y^2 - 6x - 2y = k\)

 

Corrigé

Figures

1/ \(y = (x + 2)(x - 3) - x^2\)

Développons.

\(y = x^2 - 3x + 2x - 6 - x^2\)
\(⇔ y + x + 6 = 0.\) C’est bien l’équation d’une droite (on reste dans le premier degré).

2/ \(2y = (x + 2)(x - 3)\)

À vue de nez, nous sommes dans le second degré pour \(x\) et le premier pour \(y.\) Ce qui nous oriente vers la parabole…

\(2y = x^2 - 3x + 2x - 6\)
\(⇔ y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x - 3.\) C’est bien une parabole.

parabole

3/ \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\)

\(x\) et \(y\) étant au carré, nous vérifions s’il s’agit bien de l’équation d’un cercle. Pour cela, il faut utiliser la technique de la forme canonique.

\((x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 =0\)
\(⇔ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.\) C’est bien l’équation d’un cercle.

4/ \(y = \sqrt {3 - x^2}\)

Attention, comme \(y\) est égal à une racine carrée, il est positif.

Élevons notre équation au carré.

\(y^2 = 3 - x^2\)
\(⇔ x^2 + y^2 = 3\)

C’est l’équation d’un cercle dont le centre est l’origine du repère et de rayon \(\sqrt{3}.\) Mais comme \(y\) est positif, la partie négative du cercle n’existe pas ! C’est l’équation d’un demi-cercle, dont l'illustration figure ci-dessous.

demi-cercle

5/ \(x^2 + y^2 + 8x = -32\)

Là encore, l’équation du cercle est la seule candidate puisque \(y\) est élevé au carré.

\((x + 4)^2 - 16 + y^2 = -32\)
\(⇔ (x + 4)^2 + y^2 = -16\)

Une somme de carrés ne saurait être négative. Cette équation est celle d’aucune forme géométrique.

6/  \(x^2+ y^2 + 8x = -16\)
\(⇔ (x + 4)^2 - 16 + y^2 = -16\)
\(⇔ (x + 4)^2 + y^2 = 0\)

Le rayon du cercle est nul. C’est donc l’équation d’un point. Plus précisément, du point de coordonnées \((-4\, ;0).\)

7/ \(x = y^2 + 2y -1\)

Là c’est \(y\) qui est au carré et pas \(x.\) Un piège (hors programme de première) ! Juste pour info, il s’agit bien d’une parabole mais renversée…

parabole

Équation paramétrée

\(x^2 + y^2 - 6x - 2y = k\)
\(⇔ (x - 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 = k\)
\(⇔ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = k + 9 + 1\)

Pour que ce soit l’équation d’un cercle, il faut que \(k + 10 > 0,\) donc que \(k > -10.\)