Cercles et droites dans un repère
Spécialement pour vous, un exercice sur les cercles dans un repère orthonormé, de niveau première générale (fin d’année). Il vous permettra aussi de réviser les équations cartésiennes de droites.
Exercice
Soit deux cercles dont voici les équations développées :
\(\scr{C}_1:\) \(x^2 + 4x + y^2 - 12y - 41\) \(=\) \(0\)
\(\scr{C}_2:\) \(x^2 - 8x + y^2 + 4y + 4\) \(=\) \(0\)
- Déterminer le rayon et les coordonnées des centres \(Ω_1\) et \(Ω_2\) de chacun des cercles.
- Montrer que \(\scr{C}_2\) est tangent à l’axe des ordonnées.
- Montrer que ces cercles sont sécants en deux points que l’on nommera \(A\) et \(B.\)
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et \(B\) (en posant l’égalité entre les deux équations de cercles).
- En déduire les coordonnées de \(A\) et de \(B\) (valeurs approchées au centième).
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite \((D’)\) qui passe par les centres \(Ω_1\) et \(Ω_2.\)
- Montrer que \((D)\)) et \((D’)\) sont perpendiculaires.
Corrigé
1- Nous devons établir deux formes canoniques.
\(\scr{C}_1:\) \((x + 2)^2 - 4 + (y - 6)^2 - 36\) \(=\) \(41\)
Donc \(\scr{C}_1:\) \((x + 2)^2 + (y - 6)^2\) \(=\) \(81\)
Les coordonnées du centre sont \(Ω_1 (-2\, ;6)\) et le rayon s’établit à \(\sqrt{81},\) donc 9.
\(\scr{C}_2:\) \((x - 4)^2 -16 + (y + 2) - 4\) \(=\) \(-4\)
Donc \(\scr{C}_2:\) \((x - 4)^2 + (y + 2)\) \(=\) \(16\)
Les coordonnées du centre sont \(Ω_2 (4\, ;-2)\) et le rayon mesure \(\sqrt{16},\) donc 4.
2- Pour montrer que le cercle est tangent à l'axe des ordonnées, on peut tout simplement remarquer que son centre a pour abscisse 4 et que son rayon vaut 4. Mais une autre démonstration peut être utilisée.
Un cercle est tangent à l’axe des ordonnées si pour \(x = 0\) il n’existe qu’une seule solution pour \(y.\)
Équation en \(x = 0\) de \(\scr{C}_2:\) \(y^2 + 4y + 4\) \(=\) \(0\)
Calculons le discriminant : \(Δ = 4^2 - 4 × 4 = 0.\) L’équation n’admet bien qu’une seule solution. D’ailleurs on peut calculer qu’elle est égale à -2, ce qui était prévisible puisque c’est l’ordonnée du centre \(Ω_2.\) Donc \(\scr{C}_2\) est tangent à l’axe des ordonnées.
3- Quelle distance sépare les deux centres \(Ω_1\) et \(Ω_2\) ? Souvenir de la classe de seconde…
\(Ω_1 Ω_2 \) \(=\) \(\sqrt{(4 + 2)^2 + (-2 - 6)^2}\) \(=\) \(\sqrt{36 + 64} = 10\)
Si les cercles n’étaient pas sécants en raison de centres trop éloignés, la distance \(Ω_1 Ω_2 \) serait strictement supérieure à la somme de leurs rayons, soit \(9 + 4 = 13.\) Mais si un cercle était situé à l’intérieur de l’autre, il n’existerait pas non plus de point commun ; c'est pourquoi la distance \(Ω_1 Ω_2 \) doit être strictement supérieure à la différence des deux rayons (ici, \(9 - 4 = 5\)). Comme elle est de 10 et que \(5 < 10 < 13,\) les cercles sont sécants.
4- Équation cartésienne de la droite passant par \(A\) et \(B.\)
\(x^2 + 4x + y^2 - 12y - 41\) \(=\) \(x^2 -8x + y^2 + 4y + 4\)
\(⇔ (D) : 12x - 16y - 45 = 0\)
5- Pour trouver les coordonnées de \(A\) et \(B\) il faut exprimer \(x\) en fonction de \(y\) (ou le contraire) dans l’équation ci-dessus et injecter le résultat dans l’équation de l’un des cercles.
\(12x = 16y + 45\)
\(⇔ x = \frac{4}{3}y + \frac{15}{4}\)
Remplaçons dans \(\scr{C}_2\)
\((\frac{4}{3}y + \frac{15}{4})^2\) \(-\) \(8(\frac{4}{3}y + \frac{15}{4})\) \(+\) \(y^2\) \(+\) \(4y\) \(+\) \(4\) \(=\) \(0\)
Passons les étapes. Après réduction, nous obtenons ceci :
\(\frac{25}{9}y^2 + \frac{10}{3}y - \frac{191}{16} = 0\)
Le calcul du discriminant conduit à \(Δ = \frac{575}{4}.\) Il est strictement positif. L’équation a bien deux solutions.
\(y_A = \frac{-\frac{10}{3} - \sqrt{\frac{575}{4}}}{\frac{50}{9}}\) \(=\) \(- \frac{12 + 9\sqrt{23}}{20}\) \(≈\) \(-2,76\)
\(x_A = \frac{4}{3}y_A + \frac{15}{4}\) \(≈\) \(0,07\)
De même nous trouvons \(y_B ≈ 1,56\) et donc \(x_B ≈ 5,83.\)
Résumons : \(A(0,07\, ;-2,76)\) et \(B(5,83\, ; 1,56),\) valeurs arrondies au centième.
6- La droite \((D’)\) passe par \(Ω_1 (-2\, ;6)\) et \(Ω_2 (4\, ;-2)\)
Pour répondre à l’énoncé, nous pouvons soit résoudre un système de deux équations réduites puis en déduire une équation cartésienne, soit passer par un produit scalaire. Optons pour cette seconde technique.
\(\overrightarrow {Ω_1 Ω_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{4 + 2}\\
{ - 2 - 6}
\end{array}} \right)\) donc \(\overrightarrow {Ω_1 Ω_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{6}\\
{-8}
\end{array}} \right)\)
Une équation cartésienne est donc de la forme \(8x + 6y + c = 0\) que l’on peut simplifier en \(4x + 3y + c = 0.\)
Pour trouver \(c\) nous utiliserons les coordonnées de \(Ω_1.\)
\(4 × (-2) + 3 × 6 + c = 0\) d’où \(c = -10.\)
Une équation de \((D’)\) est \(4x + 3y - 10 = 0.\)
7- \(\overrightarrow {Ω_1 Ω_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{6}\\
{-8}
\end{array}} \right)\) est un vecteur normal à une droite ayant pour équation \(6x - 8y + c = 0\) ce qui est le cas de \((D) : 12x - 16y - 45 = 0\) que l’on peut exprimer ainsi : \(6x - 8y - 22,5 = 0.\)
En bonus, la représentation avec GeoGebra des figures de cet exercice :
