Trois exercices sur la parité

Parité et périodicité

Cette page est rédigée à l’attention des élèves de première générale. Elle propose des exercices sur la parité et la périodicité de fonctions trigonométriques. Il n'est pas nécessaire de connaître les règles de dérivation.

 

Rappels

La fonction cosinus est paire car \(\cos(x) = \cos(-x)\)

La fonction sinus est impaire car \(\sin(-x) = -\sin(x)\)

\(\sin(x + π) = -\sin(x)\)
\(\cos(x + π) = -\cos(x)\)
\(\sin(x + 2π) = \sin(x)\)
\(\cos(x + 2π) = \cos(x)\)

 

Exercice 1

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \sin(x)\cos(x).\)

A- Étudier la parité de \(f.\)

B- Montrer que \(f\) est π-périodique.

 

Exercice 2

Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 2\cos(-2x).\)

A- Étudier la parité de \(g.\)

B- Montrer que \(g\) est π-périodique.

C- Dresser un tableau de variation de \(g.\)

 

Exercice 3

Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \cos^2(x) - \cos(x) - 1.\)

A- Étudier la parité de \(h.\)

B- Étudier la périodicité de \(h.\)

C- Tracer la courbe représentative de \(h\) avec une calculatrice.

 

Corrigé 1

\(f(x) = \sin(x)\cos(x).\)

A- \(f(-x) = \sin(-x)\cos(-x)\) \(= \sin(-x)\cos(x)\)

La fonction \(f\) n’est pas paire.

\(-f(x) = -\sin(x)\cos(x)\) \(= \sin(-x)\cos(-x)\)

La fonction \(f\) est impaire.

B- \(\sin(x + π)\cos(x + π)\) \(= -\sin(x) × (-\cos(x))\) \(= \sin(x)\cos(x).\)

La fonction \(f\) est π-périodique.

 

Corrigé 2

\(g(x) = 2\cos(-2x)\)

A- \(2\cos(-2x) = 2\cos(2x)\).

La fonction \(g\) est paire.

\(-2\cos(-2x) \ne 2\cos(2x)\).

La fonction \(g\) n’est pas paire.

B- \(2\cos(-2(x + π))\) \(= 2\cos(-2x -2π)\) \(= 2\cos(-2x)\)

La fonction \(g\) est π-périodique.

C- Comme la fonction est périodique, le tableau de variation zoome sur une période qu’il est inutile de multiplier (surtout que l’infini, c’est long…). Nous retiendrons l’intervalle \([0\,; π].\) Les variations sont les mêmes que celles de la fonction cosinus.

Nous devons calculer deux valeurs de \(g\) : le maximum et le minimum.

\(g(0) = 2\cos(0) = 2\)

Comme \(g\) est π-périodique et que la fonction cosinus présente une symétrie pour chaque période, le minimum est atteint pour \(x = \frac{π}{2}.\)

(\g(\frac{π}{2})\) \(= 2\cos(-π) = -2.\)

tableau

 

Corrigé 3

\(h(x) = \cos^2(x) - \cos(x) – 1.\)

A- \(h(-x) = \cos^2(-x) - \cos(-x) – 2\) \(= \cos^2(x) - \cos(x) - 1.\)

La fonction \(h\) est paire.

\(-h(x) = -\cos^2(x) + \cos(x) + 1 ≠ h(x).\)

La fonction \(h\) n’est pas impaire.

B- La fonction cosinus étant périodique de période \(2\pi,\) il en est de même pour \(h.\)

\(h(x) = h(x + 2π).\)

C- Avec une TI-83 Premium CE...

courbe

 

chameau