Voici une notion souvent rencontrée en statistiques et en analyse des données. Étudiée au lycée et de compréhension intuitive, elle n’est pas développée outre mesure dans les filières économiques de l’enseignement supérieur.

Pour les problématiques qui sont les nôtres, le barycentre est synonyme de centre de gravité. J’utilise donc ces deux termes de façon indistincte. En revanche, la définition du centre d’inertie est différente mais ce dernier n’est pas utilisé en analyse de données. Ce sont bien les centres de gravité des nuages de points qui sont recherchés lorsqu’on procède aux k-means et c’est à partir d'eux qu’on calcule les inerties, ce qui n'est pas la même chose.

Le barycentre peut être considéré comme une extension de la notion de moyenne pondérée. Ainsi, une moyenne arithmétique ou non arithmétique pondérée est le barycentre des valeurs des observations. L’espérance mathématique, qui est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités, est aussi un barycentre.

Flash-back.

Notre première rencontre avec le centre de gravité en tant que notion mathématique eut lieu dans ce riche espace qu’est la géométrie euclidienne. Rencontre peu romantique mais néanmoins prometteuse, elle permettait de résoudre d’enthousiasmants problèmes de poids à placer sur des balances, voire de points G à découvrir…

En effet, il est coutumier de nommer G un centre de gravité.

Commençons par le plus simple. Soit G le centre de gravité de 3 points A, B et C pondérés de façon égale.

La somme des trois vecteurs GA, GB et GC est égale à zéro.

Maintenant, pondérons.

Soit [AB] un segment de droite, A est pondéré par 3 et B par 2, alors G se situe là où 3 fois le vecteur GA plus 2 fois le vecteur GB est égal au vecteur nul. D’où :

La figure ci-dessous permet d’illustrer cette évidente conclusion. Par ailleurs, si les pondérations sont multipliées par un même réel, ça ne change rien à l’emplacement de G. Peu importe qu’on mette sur la balance des pommes ou des demi-pommes.

Progressons.

Si nous nous situons sur un plan, que A est pondéré par a et B par b, alors pour tout point C :

Ceci se démontre par la relation de Chasles.

Une pondération peut être négative. Si les deux pondérations sont de signes opposés, G ne se situe pas sur le segment [AB] mais il reste sur la droite qui relie ces points. Autrement dit, la droite (AB) représente l’ensemble des barycentres possibles des points A et B et si l’on démontre que G est leur centre de gravité, on prouve du même coup que les trois points sont alignés.

Situons-nous à présent sur un plan, avec plusieurs points mais tous affectés d’un même poids (par exemple, représentant l’effectif d’une entreprise distribué par âge et ancienneté, mais en nombre de jours, cette précision empêchant en pratique d’avoir des « ex-æquo »).

Le barycentre est alors un isobarycentre puisque chaque point est identiquement pondéré (grosso modo, c’est le cas d’un nuage d’individus mais pas d’un nuage de modalités de variables). Il peut se déterminer géométriquement s’il n’y a que quelques points (triangle ou quadrilatère, notamment), ce qui n'est pas le cas en statistiques...

Lorsque les points ont des poids différents, la formule vue plus haut est très utile.

Exercice : soit un triangle ABC dont les points sont affectés des poids suivants : (A ; 5), (B ; -2) et (C ; 1). Trouver le centre de gravité.

Pour tout point M, nous avons l’égalité suivante :

Pour déterminer G, on part de l’un des trois sommets du triangle. Choisissons C mais nous pourrions en prendre un autre... Ainsi, M = C.

Donc,

Une représentation graphique est très simple à réaliser (voir le principe en page combinaisons linéaires).

Tout ceci est bien joli mais, en pratique, le logiciel se charge de tout et une notion même intuitive du gentre de gravité est généralement suffisante...

Sur le web, les pages consacrées au barycentre abondent (niveau initiation, bien sûr). Voir par exemple (programme de première S) :

http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/bary.pdf

http://xmaths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Sbarycours&page=01