Quatre configurations dans l'espace

Exercices de configuration dans l'espace

Cette page a été rédigée à l’attention des élèves de terminale générale, maths de spécialité. Elle reprend quatre types de configurations dans l'espace.

 

Méthodes

  1. À votre entrée en terminale, vous saviez déjà montrer qu’un point appartient à une droite (ou que trois points sont alignés, ce qui revient au même). Ainsi, le point \(A\) appartient à la droite \((BC)\) si les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {AC} \) sont colinéaires.

  2. Pour montrer l’appartenance d’un point \(A\) à un plan, on a besoin de deux informations. D’une part connaître un point \(B\) de ce plan. D’autre part connaître les coordonnées de deux vecteurs \(\overrightarrow {u} \)  et \(\overrightarrow {v} \) qui le définissent. Si le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) peut s’exprimer comme une combinaison linéaire de \(\overrightarrow {u} \)  et de \(\overrightarrow {v} \) alors \(A\) appartient au plan.

  3. Pour montrer qu’un vecteur appartient à la direction d’une droite, on détermine qu’il est colinéaire à un vecteur directeur de cette droite.

  4. Pour prouver qu’un vecteur appartient à la direction d’un plan, on montre qu’il est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan.

Ces quatre situations font l’objet des quatre exercices corrigés ci-dessous.

 

Exercice 1 : appartenance à une droite

Cet exercice, au demeurant très facile, est extrait de l’épreuve du bac S, Pondichéry, mars 2005.

L’espace \(E\) est rapporté à un repère orthonormal \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).\) On considère les points \(A,\) \(B\) et \(C\) de coordonnées respectives \((1\, ;0\, ;2),\) \((1\, ;1\, ;4)\) et \((-1\, ;1\, ;1).\)

Montrer que les points \(A,\) \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Corrigé

Les coordonnées des points permettent de calculer celles des vecteurs.

\[\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1\\
2
\end{array}} \right), \overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-2\\
1\\
-1
\end{array}} \right)\]

Il est évident que ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points \(A,\) \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

 

Exercice 2 : points coplanaires

Soit \(ABCD\) un tétraèdre (il est souvent question de tétraèdre dans ce type d’exercice). Soit \(M\) le milieu de \([AB].\)

\(\overrightarrow {AE} = \frac{13}{4}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{4}\overrightarrow {MD} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \)

Le point \(E\) appartient-il au plan \((ABC)\) ?

Corrigé

\( 4\overrightarrow {AE} = 13 \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC} \)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 13 \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} \)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 12 \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MC} \) (relation de Chasles)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 12 × (0,5 \overrightarrow {AB}) + \overrightarrow {AC}\)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 6 \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
\(⇔ \overrightarrow {AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}\)

Le vecteur \(\overrightarrow {AE}\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {BC}.\) Par conséquent, \(E\) appartient au plan \((ABC)\).

 

Exercice 3 : appartenance d’un vecteur à la direction d’une droite

Soit \(ABCD\) un tétraèdre (oui, encore un). \(X\) est le milieu de \([AC]\) et \(Y\) est le milieu de \([BC].\)

Montrer que le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction de la droite \((AB).\)

Corrigé

\(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction de la droite \((AB)\) s’il est colinéaire au vecteur \(\overrightarrow {AB}.\)

\(\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {XA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BY}\) (relation de Chasles)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC}) + \overrightarrow {AB}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB})\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB})\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}\)

Les vecteurs \(\overrightarrow {XY}\) et \(\overrightarrow {AB}\) sont colinéaires. Donc \(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction de la droite \((AB).\)

Nous avons résolu un exercice dans le plan déguisé en exercice 3D !

 

Exercice 4 : appartenance d’un vecteur à la direction d’un plan

Soit le cube \(ABCDEFGH.\) Soit \(X\) le milieu de \([AE]\) et \(Y\) le milieu de \([CG].\) Représentation :

cube

Montrer que le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction du plan \(ABC).\)

Corrigé 4

Nous devons montrer que le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) peut s’exprimer en fonction des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {BC}.\)

Par la relation de Chasles nous pouvons écrire :

\(\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {XA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CY}\)

Or \(\overrightarrow {XA} = \frac{1}{2} \overrightarrow {EA}\) et \(\overrightarrow {YC} = \frac{1}{2} \overrightarrow {GC}.\)

Comme \(ABCDEFGH\) est un cube, \(\overrightarrow {EA} = \overrightarrow {GC}.\) Donc \(\overrightarrow {YC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\) (ou \(\overrightarrow {CY} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\))

Reprenons notre relation de Chasles.

\(\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {XA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CY}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\)

Le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) appartient bien à la direction du plan \((ABC).\)