Un exercice de géométrie dans l'espace repéré

Représentation paramétrique au bac S

L’exercice qui suit est extrait d’une épreuve du bac S, Nouvelle-Calédonie, décembre 2001. Certes, c’est un peu ancien mais toutes les questions du sujet sont au programme actuel de terminale S.

 

Énoncé

L’espace \(E\) est rapporté à un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).\)

Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ont pour coordonnées respectives :

\((-1\,; 0\,; 2)\), \((3\,; 2\,; -4)\), \((1\,;-4\,;2)\), \((5\,; -2\,;4).\)

On considère les points \(I\), \(J\) et \(K\) définis par : \(I\) milieu du segment \([AB]\), \(K\) milieu du segment \([CD]\) et \(\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

  1. Déterminer les coordonnées des points \(I\), \(J\) et \(K.\)

    a. Montrer que les points \(I\), \(J\) et \(K\) ne sont pas alignés.

    b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan \((IJK)\) est :
    \[8x + 9y + 5z - 12 = 0.\]
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AD)\) et montrer que le plan \((IJK)\) et la droite \((AD)\) sont sécants en un point \(L\) dont on déterminera les coordonnées.

    d. Montrer que :\[\overrightarrow {AL} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \]

 

Corrigé commenté

1. Utilisons les milieux pour trouver les coordonnées de \(I\) et \(K\) (voir la page sur le repérage dans l’espace avec les vecteurs).

\(\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = 0,5\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 + 3}\\ {0 + 2}\\ {2 - 4} \end{array}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right)\)

\(\overrightarrow {OK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OK} = 0,5\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 5}\\ { - 4 - 2}\\ {2 + 4} \end{array}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OK} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 3}\\ 3 \end{array}} \right)\)

Pour trouver les coordonnées de \(J\), commençons par poser la relation de Chasles :

\(\overrightarrow {OJ} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BJ} \) \( = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

Donc :

\({x_J} = 3 + 0,25(1 - 3)\) \(= 2,5\)
\({y_J} = 2 + 0,25(-4 - 2)\) \(= 0,5\)
\({z_J} = -4 + 0,25(2 + 4)\) \(= -2,5\)

Nous avons découvert les coordonnées des points \(I(1\,; 1\, ;-1)\), \(J(2,5\, ; 0,5\, ;-2,5)\) et \(K(3\,; -3\,; 3).\)

2.a.

\(\overrightarrow {IJ} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,5}\\ { - 0,5}\\ { - 1,5} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {JK} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,5}\\ { - 3,5}\\ {5,5} \end{array}} \right)\)

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles. Nous en déduisons que, ces vecteurs n’étant pas colinéaires, les points \(I\), \(J\) et \(K\) ne sont pas alignés.

b. Pour répondre à la question, il suffit de vérifier que l’équation du plan est juste lorsqu’on l’applique aux coordonnées des trois points.

\(I\) : \(8 \times 1 + 9 \times 1 + 5 \times (-1) - 12\) \(= 0\)
\(J\) : \(8 \times 2,5 + 9 \times 0,5 + 5 \times (-2,5) - 12\) \(= 0\)
\(K\) : \(8 \times 3 + 9 \times (-3) + 5 \times 3 - 12\) \(= 0\)

Les trois égalités sont vérifiées. Une équation cartésienne du plan \((IJK)\) est bien \(8x + 9y + 5z - 12\) \(= 0.\)

c. Soit un point \(M(x\, ;y\, ;z)\) qui appartient à la droite \((AD)\) si, et seulement si, il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow {AD}. \)

Une représentation paramétrique de \((AD)\) est :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - ( - 1) = t\left( {5 - ( - 1)} \right)}\\ {y + 0 = t\left( { - 2 + 0} \right)}\\ {z - 2 = t\left( {4 - 2} \right)} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 = 6t}\\ {y = - 2t}\\ {z - 2 = 2t} \end{array}} \right.\)

Cherchons \(t\) en posant \(x = 6t - 1\), \(y = -2t\) et \(z = 2t + 2.\)

\(8(6t - 1) + 9(-2t) + 5(2t + 2) - 12\) \(= 0\)
\( \Leftrightarrow 48t - 8 - 18t + 10t + 10 - 12\) \(= 0\)
\( \Leftrightarrow 40t = 10\)
\( \Leftrightarrow t = 0,25\)

Si \(t = 0,25\), alors le point \(M\) de la droite \((AD)\) appartient au plan \((IJK).\) On nous apprend que ce mystérieux point \(M\) se nomme en réalité \(L.\) Il suffit de remplacer le paramètre \(t\) de la représentation paramétrique de \((AD)\) par la valeur 0,25 pour en connaître les coordonnées.

\(x_L = 6 \times 0,25 - 1 = 0,5\)
\(y_L = -2 \times 0,25 = -0,5\)
\(z_L = 2 \times 0,25 + 2 = 2,5\)

La droite \((AD)\) et le plan \((IJK)\) sont sécants au point \(L\) de coordonnées \((0,5 \,; -0,5 \,; 2,5).\)

d. Cette dernière question est particulièrement facile à traiter. Elle a surtout pour objet de vérifier si les calculs précédents sont exacts !

\(\overrightarrow {AL} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,5 + 1 = 1,5}\\ { - 0,5 - 0 = - 0,5}\\ {2,5 - 2 = 0,5} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {AD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 2}\\ 2 \end{array}} \right)\)

Il faut bien diviser les coordonnées de \(\overrightarrow {AD} \) par 4 pour obtenir celles de \(\overrightarrow {AL}. \)