Un exercice de géométrie dans l'espace repéré

Exercice avec représentation paramétrique (bac S)

L’exercice qui suit est extrait d’une épreuve du bac S, Nouvelle-Calédonie, décembre 2001. Certes, c’est un peu ancien mais toutes les questions du sujet sont au programme actuel de terminale S.

Énoncé

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i ; j ; k).

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : (-1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; -4), (1 ; -4 ; 2), (5 ; -2 ; 4).

On considère les points I, J et K définis par : I milieu du segment [AB], K milieu du segment [CD] et

BJ = 1/4 BC

  1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

    a. Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés.
    b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x + 9y + 5z – 12 = 0.
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées.
    d. Montrer que :

AL = 1/4 AD

Corrigé commenté

1. Utilisons les milieux pour trouver les coordonnées de I et K (voir la page repérage dans l’espace avec les vecteurs).

OI = 1/2 (OA + OB)

OI (1;1;-1)

OK=1/2(OC+OD)

OK(3;-3;3)

Pour trouver les coordonnées de J, commençons par la relation de Chasles :

OJ=OB+1/4 BC

Donc :

xJ = 3 + 0,25(1 – 3) = 2,5
yJ = 2 + 0,25(-4 – 2) = 0,5
zJ = -4 + 0,25(2 + 4) = -2,5

Nous connaissons ainsi les coordonnées des points I(1 ; 1 ; -1), J(2,5 ; 0,5 ; -2,5) et K(3 ; -3 ; 3).

2.a.

IJ et JK

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles. Nous en déduisons que, ces vecteurs n’étant pas colinéaires, les points I, J et K ne sont pas alignés.

b. Pour répondre à la question, il suffit de vérifier que l’équation du plan est juste lorsqu’on l’applique aux coordonnées des trois points.

I : 8 × 1 + 9 × 1 + 5 × (-1) – 12 = 0
J : 8 × 2,5 + 9 × 0,5 + 5 × (-2,5) – 12 = 0
K : 8 × 3 + 9 × (-3) + 5 × 3 – 12 = 0

Les trois égalités sont vérifiées. Une équation cartésienne du plan (IJK) est bien 8x + 9y + 5z – 12 = 0.

c. Soit un M (x ; y ; z) qui appartient à la droite (AD) si, et seulement si, il existe un réel t tel que :

AM = tAD

Une représentation paramétrique de (AD) est :

étape préliminaire

éq param.

Cherchons t en posant x = 6t – 1, y = -2t et z = 2t + 2.

8(6t- 1) + 9(-2t) + 5(2t + 2) – 12 = 0
⇔ 48t – 8 – 18t + 10t + 10 – 12 = 0
⇔ 40t = 10
⇔ t = 0,25

Si t = 0,25, alors le point M de la droite (AD) appartient au plan (IJK). On nous apprend que ce mystérieux point M se nomme en réalité L. Il suffit de remplacer le paramètre t de la représentation paramétrique de (D) par la valeur 0,25 pour en connaître les coordonnées.

xL = 6 × 0,25 – 1 = 0,5, yL = -2 × 0,25 = -0,5 et zL = 2 × 0,25 + 2 = 2,5.

La droite (AD) et le plan (IJK) sont sécants au point L de coordonnées (0,5 ; -0,5 ; 2,5).

d. Cette dernière question est particulièrement facile à traiter. Elle a surtout pour objet de vérifier si les calculs précédents sont exacts !

AL(1,5;-0,5;0,5) et AD(6;-2;2)

Il faut bien diviser les coordonnées du vecteur AD par quatre pour obtenir celles du vecteur AL.