Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exercice de synthèse sur les matrices

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice sur matrices (bac ES spé maths)

Ceci est un exercice de synthèse sur les matrices, tiré de l’épreuve du bac ES spécialité maths (Polynésie 2015).

Énoncé

Un constructeur de planches de surf fabrique trois modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par trois postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d'heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

Tableau 1 Poste 1 Poste 2 Poste 3
Modèle 1 8 h 10 h 14 h
Modèle 2 6 h 6 h 10 h
Modèle 3 12 h 10 h 18 h

 

Tableau 2
Poste 1 25 € /h
Poste 2 20 € /h
Poste 3 15 € /h

 1- Soit H et C les deux matrices suivantes :

H et C

a. Donner la matrice produit P = H × C

b. Que représentent les coefficients de la matrice P = H × C ?

2-   Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants : Modèle 1 : 500 € ; Modèle 2 : 350 € ; Modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés a, b et c, permettant d'obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels a, b et c doivent être solutions du système

système

b. Déterminer les réels a, b et c.

Corrigé détaillé

1- Multiplication de matrices

a. Il ne faut que quelques secondes pour multiplier ces matrices avec une calculatrice (ici une TI-83 Premium). Voir la page matrices avec TI-83.

multiplication de matrices

À la main, les opérations sont les suivantes :

P

b. La matrice P indique le coût de revient de chaque modèle de planche (pour chaque poste, le coût horaire multiplié par le nombre d’heures). Un modèle 1 a coûté 610 €, un modèle 2 a coûté 420 € et un modèle 3 a coûté 770 €.

2- Traduction en matrice et inversion

a. D’après l’énoncé, le fabricant souhaite agir sur le coût horaire tandis que le nombre d’heures passées pour chacun des modèles par poste reste inchangé. On conserve donc la matrice H mais comme on ignore l’objectif de coût horaire par poste, on remplace la matrice C par une matrice comportant trois inconnues. La matrice résultat P est quant à elle remplacée par les objectifs de coûts de revient.

b. Inversons H avec la calculatrice.

inversion

Mettons ce résultat de côté et procédons aux calculs...

étape 1

étape 2

Il est temps de retrouver la matrice inverse que nous avons réservée.

étape 3

Avec la calculatrice…

résultat

Par conséquent, le coût horaire reste le même pour le poste 1 mais il doit descendre à 12,50 € pour les deux autres postes.

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés