Principe du tableau de Burt
Le tableau de Burt est un moyen de disposer de données d’ordre qualitatif afin de les traiter par le calcul, tout comme le tableau disjonctif complet dont il est d’ailleurs issu.
Utilité
Ce tableau est utilisé dans le cadre de l’analyse des correspondances multiples (ACM) qui est une extension de l’analyse factorielle des correspondances lorsque l’on cherche des liens entre plus de deux variables aléatoires, c’est-à-dire dans une situation où les unités statistiques se répartissent dans un espace à plus de deux dimensions.
Présentation
La présentation de Burt comporte tous les tableaux de contingence des variables prises deux à deux qui sont autant de sous-matrices et qui constituent une matrice carrée symétrique.
L'obtention de la matrice \(B\) du tableau de Burt s'obtient en multipliant la matrice du disjonctif complet \(Z\) par sa transposée : \(B = Z'Z.\)
Un exemple en facilitera la lecture.
Exemple
Soit un tableau disjonctif qui reprend les réponses à un questionnaire réalisé pour une étude de marché (vingt-six enquêtés, quatre questions posées sur un produit) :
Nous constatons que la première et la quatrième question comportent chacune trois réponses possibles alors que la deuxième et la troisième n’en proposent que deux.
Le tableau de Burt ci-dessous a été réalisé par XLSTAT. Il fait partie de l’état de sortie d’une ACM. J’ai grisé les sous-matrices qui croisent les réponses à une même question.
Bien entendu, les sous-matrices grisées sont diagonales et leurs traces sont égales à 26. Ce chiffre n’est autre que le nombre de personnes interrogées. Dans la première sous-matrice, on constate que huit individus ont répondu « 1 » à la première question. Ces réponses n’apparaissent que sur la diagonale puisqu’elles sont exclusives les unes des autres (un répondant à l’enquête ne choisit qu’une seule modalité par question). Précisons au passage qu’une non-réponse à un questionnaire constitue, en pratique, une modalité à part entière.
L’ACM utilise aussi une matrice diagonale \(D\) qui reprend toutes les sous-matrices grisées et des zéros partout ailleurs.
Qu’en est-il des croisements entre questions différentes ? Revoici le tableau, cette fois avec les sous-matrices colorées (il est plus agréable de comprendre un mécanisme avec des couleurs sur un exemple plutôt qu’avec des formules mathématiques).
Les sous-matrices et leurs transposées (de même couleur) croisent les modalités d’une question avec les modalités d’une autre question. Comme il se doit, le somme des éléments de chaque sous-matrice est égale au nombre d’interviewés.
À titre d’exemple, les individus qui ont choisi la deuxième modalité à la question 1 optent majoritairement pour la modalité 1 de la question 2 (six réponses contre deux pour la modalité 2). Pour être plus concret, ce peut être les individus qui ont choisi l’option « couleur du produit » qui répondent majoritairement « oui » à une question d’intention d’achat.
Pour conclure...
Comme on peut s’en douter, les enquêtes s’appuient habituellement sur un grand nombre de modalités et les tableaux de Burt sont très grands, mais moins gigantesques que les tableaux disjonctifs. Leur visualisation ne sert donc pas à grand-chose. Répétons-le, il s’agit d’une présentation permettant un passage du qualitatif à une présentation matricielle pratique.
Enfin, précisons qu'un tableau de Burt contient moins d'informations qu'un tableau disjonctif puisqu'il est impossible de retrouver les réponses apportées par chaque répondant. Il ne permet pas de construire un nuage de points-individus mais seulement un nuage de centres de gravité de classes d'individus.
Note : l'ACM rélalisée à partir du tableau de Burt ci-dessus illustre la page exemple d'ACM.
