Exercice sur la fonction cotangente
Dans le secondaire, la fonction cotangente n’est mentionnée dans aucun programme. Toutefois, il est tout à fait possible de la rencontrer au détour d’un exercice. Nous vous en proposons un plutôt facile, de niveau terminale spécialité maths, après un petit paragraphe culturel.
Définition
Soit un triangle rectangle. Ses côtés sont nommés comme suit : \(o\) pour côté opposé de l’angle \(\alpha\) et \(a\) pour adjacent à cet angle, on résume ainsi :
Cotangente de \(\alpha\) = \(\frac{a}{o}.\) C’est donc l’inverse de la tangente.
Abréviations : cot ou cotan.
Un peu de culture…
Al-Khwarizmi est né à la fin du huitième siècle dans l’actuel Iran et mort vers 830, probablement à Bagdad. Il fut l’un des plus grands mathématiciens du Moyen Âge. Il a donné son nom au terme algorithme et il est à l’origine du mot algèbre.
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Une (…) fonction trigonométrique introduite par Al-Khwarizmi (…) est celle de la cotangente d’un angle, étant donné son utilité pour déterminer l’heure du jour à partir de l’altitude du soleil. Si on place un bâton vertical (…) sur le sol, la hauteur du soleil au fil de la journée va déterminer des ombres de différentes longueurs (…). Si \(\alpha\) est l’angle de hauteur à partir duquel le soleil projette ses rayons, alors la longueur de l’ombre projetée sera de \(12 \cot \alpha.\) Telle est, précisément, l’expression calculée par Al-Khwarizmi. (Al-Khwarizmi, la naissance de l’algèbre, coll. Génies des mathématiques, RBA, 2018).
Exercice
Soit \(f\) la fonction cotangente.
- Déterminer l’ensemble de définition de \(f.\)
- Montrer que \(f\) est impaire.
- Montrer que \(f\) est périodique de période \(\pi.\)
- Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0 ;\, \pi[\) et déterminer \(f’,\) dérivée de \(f.\)
- Étudier les variations de \(f\) sur \(]0\, ; \pi[.\)
- Calculer les limites aux bornes de cet intervalle.
- Dresser le tableau de variation de \(f.\)
- Sur un même repère, tracer les courbes représentatives de la fonction tangente et de la fonction cotangente.
Corrigé
1 - \(f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}.\)
\(f\) est définie si et seulement si \(\sin x \ne 0.\) Donc, \(x\) doit être différent de \(k \pi\) avec \(k\) entier relatif.
\(D = \{\mathbb{R} \backslash k \pi \;|\; k \in \mathbb{Z}\}\)
2 – Pour démontrer que \(f\) est impaire, il faut montrer que \(f(-x) = -f(x).\)
\(\cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cot(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x)\)
La fonction \(f\) est impaire.
3 – Montrons que \(f\) est de période pi.
\(\cot(x + \pi) = \frac{\cos(x + \pi)}{\sin(x + \pi)} = \frac{- \cos(x)}{- \sin(x)} = \cot(x)\)
4 – Montrons d’abord que \(f\) est dérivable.
\(f\) est dérivable si son dénominateur n’est pas nul. Or, \(\sin 0 = 0\) et \(\sin \pi = 0.\)
Donc \(f\) n’est pas dérivable en 0 et en \(\pi\) mais elle l’est entre ces deux bornes.
\(f(x)\) est de la forme \(\frac{u(x)}{v(x)}\)
Sa dérivée est de la forme \(\frac{u’(x)v(x) - v’(x)u(x)}{v(x)^2}\)
- \(u(x) = \cos(x)\) et \(u’(x) = - \sin(x)\)
- \(v(x) = \sin(x)\) et \(v’(x) = \cos(x)\)
\(f’(x) = \frac{- \sin(x) \sin(x) - \cos(x) \cos(x)}{\sin^2(x)}\)
\(\Leftrightarrow f’(x) = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}\)
Vous vous souvenez bien sûr que \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).
\(f’x) = \frac {- 1}{\sin^2(x)}\)
On peut l’écrire autrement. En effet, l’inverse de la fonction sinus est la fonction cosécante : \(f’(x) = - \csc^2(x)\)
5 – Il est clair que \(\frac {-1}{\sin^2(x)} < 0.\)
\(f’(x)\) étant négative, \(f(x)\) est décroissante sur \(]0\, ; \pi[.\)
6 – Limites.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ } \cos(x) = 1\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ } \sin(x) = 0^+\)
Par conséquent, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ } f (x) = +\infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi^- } \cos(x) = -1\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi^- } \sin(x) = 0^+\)
Par conséquent, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi^- } f (x) = -\infty\)
7 – Tableau de variation.
8 – Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction cotangente figure en rouge (et, bravo pour votre perspicacité, celle de la fonction tangente est en violet).
