Le triangle de Pascal

Triangle arithmétique

Il est probable que la découverte du triangle arithmétique soit très ancienne mais ce qui n’était alors qu’une curiosité mathématique n’avait guère de raisons de figurer dans les écrits. Et pourtant, quelle merveille… Cette page devrait vous en convaincre !

 

Historique

Chia Hsien était un mathématicien chinois du onzième siècle (donc 600 ans avant Pascal). Nous savons qu’il utilisait les propriétés de ce triangle pour calculer des racines carrées et cubiques (sans toutefois utiliser la présentation triangulaire, inventée deux siècles plus tard par son compatriote Yang Hui).

À peu près à la même époque, des mathématiciens perses faisaient le lien entre les nombres du triangle et le binôme de Newton (donc lui aussi connu bien avant Newton !).

Même en Europe, le Saxon Peter von Bennewitz, dit Petrus Apianus, s’est intéressé au triangle arithmétique un siècle avant Blaise Pascal.

Ce dernier, génial inventeur, physicien, mathématicien et philosophe, n’a jamais prétendu découvrir triangle qui porte son nom. Il a synthétisé les travaux existants sur le sujet dans un petit ouvrage intitulé Traité du triangle arithmétique, démontrant au passage pour la première fois certaines de ses propriétés et c’est le mathématicien Abraham de Moivre qui a baptisé cet outil du nom de son compatriote longtemps après sa mort. Il n’est toutefois pas dénommé ainsi partout dans le monde aujourd’hui.

 

Construction

Comment construit-on ce fameux triangle ?

Avec un tableur, vous pouvez en réaliser très rapidement le haut. La première colonne ne contient que des 1. En ligne, on indique la somme du nombre du dessus et de celui qui se trouve à sa gauche. On peut descendre à l’infini mais par manque de temps vous ne le ferez pas.

On obtient ceci :

Note : on peut lui préférer une forme isocèle mais la présentation en triangle rectangle est plus facile à réaliser. La configuration de Pascal se lit quant à elle en diagonale :

 

Utilités

Le triangle arithmétique fait partie du programme de terminale générale spécialité maths. Il permet de découvrir la relation de récurrence, formalisée par Pascal (voir la relation de Pascal), et d’introduire le binôme de Newton ainsi que les coefficients binomiaux. D’autres domaines ont été explorés par Pascal : les nombres figurés et les probabilités (qui n’avaient pas encore ce nom et que Pascal nommait géométrie du hasard).

Les coefficients binomiaux sont simplement des combinaisons qui prennent cette dénomination dans des problématiques particulières. Si vous devez calculer une combinaison et que les piles de votre calculatrice vous ont lâchement laissé tomber, il est facile de la déterminer en dressant un triangle arithmétique sur un brouillon (voir le quatrième exercice de combinaison).

 

Propriétés

Les propriétés sont d’abord celles des coefficients binomiaux. Dans cette section, nous ne verrons que quelques propriétés du triangle lui-même. Elles ne sont pas au programme du secondaire mais elles font admettre aux plus sceptiques que les maths sont décidément passionnantes.

Ainsi la proportion qui existe entre deux nombres consécutifs sur la même ligne est la même qui existe entre le nombre de valeurs à la gauche du premier (inclus) et le nombre de valeurs à la droite du deuxième (inclus). Par exemple \(\frac{45}{120}\) (ligne 10) est égal à \(\frac{3}{8}\) (45 est le troisième nombre en partant de la gauche et 120 est le huitième nombre en partant de la droite).

De plus, si vous faites la somme de chaque diagonale, vous obtenez 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... c'est-à-dire les termes de la suite de Fibonacci !


Enfin, il existe une relation entre le triangle et les fractales. Ce domaine des mathématiques est trop complexe pour être enseigné dans le secondaire ou expliqué sur ce site. Retenez juste que si l’on colore tous les multiples d’un nombre dans le triangle de Pascal, on obtient d’étonnants motifs.

Voici par exemple les 55 premières lignes et colonnes du triangle de Pascal qui mettent en exergue les multiples de 2. Pour des raisons de clarté les nombres ont été effacés ; seules les couleurs apparaissent : blanc pour les valeurs impaires et bleu pour les paires (réalisation sur Excel).

Franchement, c’est merveilleux.