La permutation

Permutations et factorielles

Niveau de difficulté de cette page : terminale générale, spécialité maths (hormis les quelques digressions sur les factorielles…).

On découvre toujours les factorielles lorsqu’on étudie la combinatoire. Il en existe pourtant d’autres utilisations mais nous ne dérogerons pas à la tradition : après avoir vu ce dont il s’agit, nous étudierons les permutations.

 

Factorielles

La factorielle d’un entier naturel \(n\) est le produit de tous les entiers strictement supérieurs à 0 et inférieurs ou égaux à \(n.\) Par exemple, la factorielle de 5 est égale à \(5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.\)

On note la factorielle avec un point d’exclamation, sans espace après le nombre (contrairement aux règles typographiques françaises). La factorielle de 5 s’écrit donc \(5 !\) et se prononce soit factorielle de 5, soit factorielle 5, soit 5 factorielle.

Par convention, \(0 !=1.\)

Une propriété évidente est que \(n ! = (n-1) !× n\)

Note : la factorielle est une notion importante en statistiques (on la trouve par exemple dans la formule de la loi de Poisson) mais aussi en mathématiques financières et en analyse (développements limités). Pour information, il existe des notions issues de la factorielle (primorielle, multifactorielle, superfactorielle, hyperfactorielle et sous-factorielle). L’article « Factorielle » de Wikipédia épanchera votre soif de culture sur ces notions, mais pas forcément sur leur utilité pratique.

 

Permutation

Combien y a-t-il de possibilités de combiner \(n\) éléments différents ?

Les anagrammes s’invitent dans la plupart des énoncés sur les permutations. Prenons par exemple les lettres R, O, M et E. De combien de façons peut-on les agencer ?

Il y a 4 possibilités pour la première lettre. Pour la deuxième il n’y en a plus que 3. Puis 2 puis une. Le cardinal de l’ensemble des possibilités est \(4 × 3 × 2 × 1 = 24.\) Il y a 24 possibilités, c’est-à-dire \(4 !\)

Donc, pour reprendre notre question, il y a \(n ! \) façon d’agencer \(n\) éléments distincts.

anagrammes

Une permutation est donc un n-uplet d’éléments distincts d’un ensemble de \(n\) éléments.

Voir aussi l'exemple avec arbre de dénombrement en page dénombrement.

 

Calculatrices

Avec une TI-83 : Tapez le nombre dont vous souhaitez connaître la factorielle, puis touche math puis choix PROB et choix 4 (le point d’exclamation). Touche entrer deux fois.

Avec une Casio Graph 85 SD : choix 1 dans le menu d’accueil. Entrez le nombre dont vous souhaitez connaître la factorielle puis touche OPTN puis PROB (F6 puis F3). Choix F1 (x !) puis EXE.

Inutile de chercher des factorielles trop élevées, vous obtiendrez des messages d’erreur.

fenêtre Casio

 

Python

Exemple de programme pour déterminer une factorielle (en utilisant une fonction).

def factorielle(n):
    f = 1
    for i in range(1, n+1):
        f = f * i
    return(f)

n = int(input('nombre : '))
print (n,'! = ',factorielle(n))

Un autre programme utilisant les factorielles se trouve en page d'exercices de combinatoire.

 

Exercice

Soit le mot TIRE-CLOU. Combien en existe-t-il d’anagrammes, sachant que les lettres de TIRE doivent se trouver dans la première partie du mot composé et celles de CLOU dans la seconde ?

 

Corrigé

Nous sommes en présence de deux permutations. Donc, pour la première partie du mot il existe \(4 ! = 24\) possibilités. Idem pour la seconde partie.

Principe multiplicatif : \(24 × 24 = 576\) anagrammes possibles.

 

factorielle