Présentation de la loi arc-sinus
Voici l’une des plus curieuses lois de probabilité de variables aléatoires (v.a) continues.
Une grande famille
La loi de l’arc-sinus est une forme particulière de la loi bêta 1, celle où les deux paramètres \(α\) et \(β\) s’établissent à 0,5.
La loi bêta fait intervenir la fonction gamma. Dans la mesure où \(γ(0,5) = \sqrt{\pi},\) l’expression de la fonction de densité (dans sa version standardisée sur \(]0\,;1[\) est beaucoup moins compliquée que celles des autres lois bêta…
\(\displaystyle{f(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{x(1 - x)}}}\)
La fonction de répartition, primitive de la fonction de densité, fait intervenir la fonction arc-sinus :
\(F(x) = \frac{2}{\pi} \sin^{-1} \sqrt{x}\)
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction de densité figure ci-dessous en bleu (réalisation sur Statgraphics Centurion). À titre de comparaison, la courbe rouge montre une autre distribution bêta dont les paramètres sont également inférieurs à 1.
On voit que curieusement, l’espérance de la loi arc-sinus, parfois bien nommée « loi en U », est la valeur qui a le moins de chances de se réaliser ! Cette espérance est de 0,5 tandis que la variance s’établit à 0,125.
La fonction de répartition est illustrée par la courbe ci-dessous :
Utilité
Cette loi modélise entre autres la situation où, si l’on tire à pile ou face un très grand nombre de fois (équiprobabilité de gain ou de perte), on se trouve en situation où soit les gains soit les pertes sont majoritaires pendant de très longues périodes (souvent sur la quasi-totalité des tirages).
Il n’est d’ailleurs pas très difficile d’en faire une simulation avec un logiciel en générant une suite aléatoire de 0 et de 1 puis en déterminant à chaque tirage si, en cumul, les 0 ou les 1 sont majoritaires.
En fournissant une possible explication de l’existence des tendances boursières, la loi de l’arc-sinus réconcilie deux courants antinomiques : l’analyse technique pour qui les tendances sont des objets d’étude et la théorie de la marche au hasard pour qui le passé n’impacte ni le présent ni l’avenir. « Lorsqu’un actif part d’un cours donné, soit il reviendra très vite à ce cours initial (…), soit il n’y reviendra que très longtemps après (…). Entre-temps, dans ce deuxième cas, il demeurera toujours au-dessus (en cas de hausse) ou toujours au-dessous (en cas de baisse) de son cours d’origine. D’où la constatation de ce que les analystes techniques appellent des tendances » (l’Analyse technique, 6e édition, T. Béchu, É. Bertrand et J. Nebenzahl, Economica 2008, p. 39).
Autre forme
Il existe une autre forme de la loi arc-sinus, où \(x\) est compris entre -1 et 1. Les fonctions de densité et de répartition s'écrivent respectivement :
- \(\displaystyle{f(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1 - x^2}}}\)
- \(\displaystyle{F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sin^{-1}x}\)
Son espérance est nulle et sa variance est de 0,5.
Il s’agit de la loi que suivent le sinus ou le cosinus d’une v.a uniforme sur certains intervalles.
