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(et fondements mathématiques)

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

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Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

Un incontournable des cours de statistiques, du moins dans l’enseignement supérieur. L’inégalité énoncée par Irénée-Jules Bienaymé n’a que peu d’applications concrètes directes car les conclusions sont trop imprécises (nous le constaterons en fin de page) mais Pafnouti Tchebychev, dont l’orthographe latine varie au gré des manuels, l’a utilisée pour établir la loi faible des grands nombres. C’est dans le cadre de sa démonstration que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT) est habituellement enseignée.

Sur cette page nous démontrons l’inégalité de Markov puis l'IBT qui en découle. Enfin, nous illustrons cette dernière au regard d'une loi de probabilité.

Inégalité de Markov (démonstration)

Avant d’étudier l’IBT, il est habituel d’exposer l’inégalité de Markov sur laquelle elle repose. Cette inégalité s’applique aux variables aléatoires discrètes comme aux continues. C’est ce dernier cas qui a été retenu ci-dessous mais rassurez-vous, la démonstration est fort simple.

Soit X une variable aléatoire à valeurs positives et f sa fonction de densité. Son espérance est :

E(X)

Soit un réel positif a. Par la relations de Chasles, nous obtenons :

relation de Chasles

Il est évident que le premier terme étant positif (voire nul), nous avons :

inégalité

Choisissons la plus petite valeur que peut prendre x, c’est-à-dire a. L’inégalité ci-dessous est vérifiée :

inégalité

Que représente l’intégrale ? Tout simplement la probabilité que X soit supérieure à a, ce qui peut s’écrire E(X) ≥ aP(x ≥ a). C’est l’inégalité de Markov.

Corollaire : soit g une fonction croissante et positive sur un intervalle I (sur lequel X se trouve nécessairement). Pour tout réel a appartenant à I, nous avons :

corollaire (avec fonction)

Remarque : comme vous l’avez constaté, il n’est pas indispensable que X ait une variance.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Puisque a est positif, il peut tout à fait représenter la valeur absolue d’un écart à l’espérance et son carré représenter le carré de cet écart, ce qui suppose cette fois-ci que X ait une variance :

1ère étape

En effet, au numérateur figure la définition de la variance de X.

étape 2

Il suffit de connaître la fonction carré pour en déduire l’inégalité suivante :

IBT

C’est la fameuse inégalité ! Mais on peut l’écrire autrement. Soit k = a / σ.

seconde formulation

Cette seconde écriture peut elle-même être transformée pour montrer que l’IBT s’applique aux problématiques d’intervalles de confiance.

IBT avec intervalle

Donc, si l’écart-type d’une distribution est connu, on peut choisir k de façon à satisfaire une précision de probabilité fixée.

Note : l’IBT se vérifie sur toutes les lois de probabilités, sauf bien sûr si elles n'admettent pas de variance finie (loi de Cauchy).

Exemple

Comparons les conclusions de l’IBT avec la loi normale.

Soit k = 2 et σ = 1. Nous cherchons la probabilité qu'une variable aléatoire se situe entre plus ou moins deux écarts-types.

Si l'on applique la dernière formule ci-dessus, on constate que la probabilité est au moins égale à 0,75.

Pour ces valeurs, la loi normale centrée réduite nous donne environ 0,977. Elle est donc beaucoup plus précise.

 

IBT

 

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