Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
Un incontournable des cours de statistiques. L’inégalité énoncée par Irénée-Jules Bienaymé en 1853 n’a que peu d’applications concrètes directes car les conclusions sont trop imprécises (nous le constaterons en fin de page) mais Pafnouti Tchebychev, dont l’orthographe latine varie au gré des manuels, l’a utilisée pour établir la loi faible des grands nombres. C’est dans le cadre de sa démonstration que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT) est habituellement enseignée.
Sur cette page nous démontrons l’inégalité de Markov (qui fut l'élève de Tchebychev) puis l'IBT qui en découle. Enfin, nous illustrons cette dernière au regard d'une loi de probabilité.
Inégalité de Markov (démonstration)
Avant d’étudier l’IBT, il est habituel d’exposer l’inégalité de Markov sur laquelle elle repose. Cette inégalité s’applique aux variables aléatoires discrètes comme aux continues. C’est ce dernier cas qui a été retenu ci-dessous mais rassurez-vous, la démonstration est fort simple et si vous la préférez avec des variables discrètes, voyez la page de concentration et loi des grands nombres.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs positives et \(f\) sa fonction de densité. Son espérance est :
\(E(X) = \displaystyle{\int_{0}^{+ \infty} {xf(x)dx}}\)
Soit un réel positif \(a.\) Par la relations de Chasles, nous obtenons :
\(E(X)\) \(=\) \(\displaystyle{\int_{0}^{a} {xf(x)dx} + \int_{a}^{+\infty} {xf(x)dx}}\)
Il est évident que le premier terme étant positif (voire nul), nous avons :
\(E(X)\) \(\geqslant\) \(\displaystyle{\int_{a}^{+ \infty} {xf(x)dx}}\)
Choisissons la plus petite valeur que peut prendre \(x,\) c’est-à-dire \(a.\) L’inégalité ci-dessous est vérifiée :
\(E(X)\) \(\geqslant\) \(\displaystyle{ a \int_{a}^{+ \infty} {f(x)dx}}\)
Que représente l’intégrale ? Tout simplement la probabilité que \(X\) soit supérieure à \(a,\) ce qui peut s’écrire \(E(X)\geqslant aP(x \geqslant a).\) C’est l’inégalité de Markov.
Corollaire : soit \(g\) une fonction croissante et positive sur un intervalle \(I\) (sur lequel \(X\) se trouve nécessairement). \(\forall a \in I, \; P(X \geqslant a) \leqslant \displaystyle{\frac{E[g(X)]}{g(a)}}\)
Remarque : comme vous l’avez peut-être constaté, il n’est pas indispensable que \(X\) ait une variance.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Puisque \(a\) est positif, il peut tout à fait représenter la valeur absolue d’un écart à l’espérance et son carré représenter le carré de cet écart, ce qui suppose cette fois-ci que \(X\) ait une variance :
\(P[X - E(X))^2 \geqslant a^2]\) \(\leqslant\) \(\displaystyle{\frac{E[X - E(X))^2]}{a^2}}\)
En effet, au numérateur figure la définition de la variance de \(X.\)
\(P[X - E(X))^2 \geqslant a^2]\) \(\leqslant\) \(\displaystyle{\frac{\sigma^2}{a^2}}\)
Il suffit de connaître la fonction carré pour en déduire l’inégalité suivante :
\(P(|X - E(X)| \geqslant a)\) \(\leqslant\) \(\displaystyle{\frac{\sigma^2}{a^2}}\)
C’est la fameuse inégalité ! Mais on peut l’écrire autrement. Soit \(\displaystyle{k = \frac{a}{σ}}.\)
\(P(|X - E(X)| \geqslant k \sigma)\) \(\leqslant\) \(\displaystyle{\frac{1}{k^2}}\)
Cette seconde écriture peut elle-même être transformée pour montrer que l’IBT s’applique aux problématiques d’intervalles de confiance.
\(P[E(X) - k \sigma \leqslant X \leqslant E(X) + k \sigma ] \geqslant 1 - \displaystyle{\frac{1}{k^2}}\)
Donc, si l’écart-type d’une distribution est connu, on peut choisir \(k\) de façon à satisfaire une précision de probabilité fixée.
Note : l’IBT se vérifie sur toutes les lois de probabilités, sauf évidemment sur celles qui n'admettent pas de variance finie (loi de Cauchy).
Exemple
Comparons les conclusions de l’IBT avec la loi normale.
Soit \(k = 2\) et \(σ = 1.\) Nous cherchons la probabilité qu'une variable aléatoire se situe entre plus ou moins deux écarts-types.
Si l'on applique la dernière formule ci-dessus, on constate que la probabilité est au moins égale à 0,75.
Pour ces valeurs, la loi normale centrée réduite nous donne environ 0,977. Elle est donc beaucoup plus précise.
Ce site vous propose aussi deux exercices avec l'IBT.
