Applications de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Voici deux exercices corrigés de niveau terminale générale pour vous entraîner à partir de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Rappel :
\(P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a^2}\)
\(X\) est une variable aléatoire, \(E(X)\) est son espérance, \(V(X)\) sa variance et \(a\) est un réel.
Exercice 1
Un horticulteur a créé une variété de rosier qu’il a nommé la « Bien-aimée de Tchebychev » (oui c’est nul, mais ce n’est pas la question). Il a établi que l’espérance du nombre de pétales d’une rose de cette variété était 60 et l’écart-type 1,5.
Il vend un rosier qui, pour l’instant, ne présente qu’une fleur. Celle-ci ne doit pas s’écarter du modèle standard dont le nombre de pétales se situe, selon l’horticulteur, dans un intervalle de 57 à 63 pétales.
Nous ne faisons aucune hypothèse sur la loi de probabilité que suit le nombre de pétales d’une rose de cette variété.
Minorer la probabilité que le nombre de pétales de la rose vendue se situe dans l’intervalle désiré.
Corrigé 1
Soit \(X\) la variable aléatoire « nombre de pétales ».
Nous remarquons que l’intervalle souhaité correspond à l’espérance (soit 60) plus ou moins 3.
Donc \(P(X ∈ [57\, ; 63])\) s’écrit aussi \(P(|X - 60| \leqslant 3).\)
Comme nous ne savons rien de la loi de probabilité suivie par \(X\) nous nous contentons du « service minimum » c’est-à-dire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
La variance étant le carré de l’écart-type, elle s’établit ici à 2,25.
\(P(|X - 60| > 3) \leqslant \frac{2,25}{3^2}\)
\( ⇔ 1 - P(|X - 60| \leqslant 3) \leqslant \frac{2,25}{9}\)
\(\Leftrightarrow - P(|X - 60| \leqslant 3) \leqslant 0,25 - 1\)
\(⇔ P(|X - 60|\leqslant 3) \geqslant 0,75\)
La probabilité que la rose possède entre 57 et 63 pétales est supérieure à 0,75.
Exercice 2
Quelqu’un joue 1 000 fois à pile ou face avec une pièce équilibrée.
Minorer sa probabilité d’obtenir entre 480 et 520 faces à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev puis comparer le résultat obtenu avec celui que donne la loi binomiale.
Corrigé 2
Soit \(X\) la variable aléatoire « nombre de faces ».
La pièce étant équilibrée, la probabilité d’obtenir face sur un lancer s’établit à 0,5. L’espérance est donc de 500 faces.
La variance est égale à \(1000 × 0,5 × 0,5\) \(=\) \(250.\)
Donc \(P(X ∈ [480\, ;520])\) s’écrit aussi \(P(|X - 500| \leqslant 20\)
D’après l’inégalité :
\(P(|X - 500| \geqslant 20) \leqslant \frac{250}{20^2}\)
\(⇔ 1 - P(|X - 500| > 20) \leqslant \frac{250}{400}\)
\(⇔ -P(|X - 500| > 20 \leqslant 0,625 -1\)
\(⇔ P(|X - 500| > 20) > 0,375\)
La probabilité est supérieure à 0,375.
L’expérience de 1 000 tirages à pile ou face successifs et indépendants est modélisable par la loi binomiale \(\mathscr{B}(1000\, ;0,5).\)
Utilisons une calculatrice TI-83 premium CE pour connaître la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 520.
Touche 2nde pour obtenir la touche distrib. Choisir binomFRép car nous souhaitons un cumul de probabilités.
Il suffit de renseigner les trois informations demandées.
Nous obtenons 0,9026 (arrondi).
Recommençons pour obtenir la probabilité d’une valeur inférieure ou égale à 479.
Nous obtenons 0,0974 (arrondi).
Par différence, nous obtenons la probabilité de trouver un nombre de faces dans l’intervalle \([480\, ;520].\)
\(0,9026 - 0,0974 = 0,8052.\)
La probabilité s’établit à 0,8052. Nous vérifions qu’elle est supérieure à 0,375 comme l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous l’avait enseigné. Nous constatons au passage le faible niveau d’information que cette dernière nous apporte !
